借助向量求多元函数的最值问题 学法指导 不分版本 试题.doc

借助向量求多元函数的最值问题长春师范学院姜景宜在有些二元函数求最值的问题中，构建向量模型，常常会使复杂的问题变得简洁明了，利用向量的坐标及向量的内积，会使繁琐的解题过程显得巧妙与自然，下面举例进行分析：例1：已知：，求的最大值。解：由已知，可取一定点M（3，2）设N（x，y）为圆上任意一点，0为原点，则OM=（3，2），ON=（x，y）所以那么的最大值为例2：已知：，求的最小值。解：由已知，取一定点，M（1，1）设N（x，y）为圆上的任意一点，0为原点。则OM=（1，1），ON=（x，y）所以那么又因为所以也就是即的最小值为8。例3：已知，求的最小值。解：由已知，可取一定点P（1，1）再设，0为原点，OP=（1，1）所以那么的最小值为。例4：已知：，求的最小值。解：由已知，设，，O为原点。所以那么可得因为所以那么而即的最小值。例5：已知，求的最小值。解：由已知，设点M（），N（），O为原点则所以因为所以也就是即，的最小值为2。以上五道例题利用了向量独特的几何性质和代数运算的完美结合，即向量的内积，把复杂的、看似无从入手的代数问题转化为向量问题，这不仅有助于培养学生数形结合的数学思维，还会激励学生的发散思维，使其在以后的解题过程中，手法更具有灵活性和技巧性。