河北省保定市高阳中学2014-2015学年高二数学下学期期中试题 理.doc

PAGE-7-2014-2015学年第二学期期中考试高二理科数学（考试时间：120分钟分值：150分）本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数eq\f(z,1＋i)的点是()A．EB．FC．GD．H2.复数z＝i(i＋1)(i为虚数单位)的共轭复数是()A．－1－iB．－1＋IC．1－iD．1＋i3.已知复数的模等于2，则的最大值等于（）A.1B.2C.D.34.积分＝()A.eq\f(1,4)πB.eq\f(1,2)πC．πD．2π5.y＝（2x2－1)的导数是()A.B.C.D.6.函数f(x)＝x3＋x－2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数的取值范围是()A．三、解答题：（共70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（本小题满分10分）已知f(x)＝x2＋px＋q.(1)求证：f(1)－2f(2)＋f(3)＝2；(2)求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于eq\f(1,2).18.（本小题满分12分）设函数为奇函数,其图象在点处的切线与直线垂直,导函数的最小值为.(1)求,,的值;(2)设,当时,求的最小值.19.（本小题满分12分）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围.20.（本小题满分12分）设函数,曲线在点处的切线方程为.(1)求的解析式;(2)证明:曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值,并求此定值.21.（本小题满分12分）如图1,在等腰直角三角形中,,,分别是上的点,,为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中.(1)证明:平面;(2)求二面角的平面角的余弦值..COBDEACDOBE图1图222.（本小题满分12分）设函数(1)当时，求函数的单调区间；(2)令，其图象上任意一点P(x0，y0)处切线的斜率k≤eq\f(1,2)恒成立，求实数的取值范围；(3)当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围．高二期中考试理科数学参考答案：一、DADBABDDAADB二、13.214.(－∞，－1)∪(2，＋∞)15.16.17.证明：(1)f(1)－2f(2)＋f(3)＝1＋p＋q－2(4＋2p＋q)＋9＋3p＋q＝2.………4分(2)假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于eq\f(1,2)，…………6分则有|f(1)|<eq\f(1,2)，|f(2)|<eq\f(1,2)，|f(3)|<eq\f(1,2).∴|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2.又|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|f(1)－2f(2)＋f(3)＝2，…………9分这与|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2矛盾．∴假设不成立，从而原命题成立．…………10分18.解:(1)∵为奇函数,∴,即,∴,…………2分又∵的最小值为,∴，…………4分又直线的斜率为,因此,,∴,∴,,为所求.…………7分(2)由(1)得,∴当时,,…………10分当且仅当时取等号…………11分∴的最小值为.…………12分19解：由于…………2分因为函数f(x)存在单调递减区间，所以<0有解.…………4分又因为函数的定义域为，则ax2+2x－1>0应有x>0的解.…………5分时成立…………7分当a>0时，y=ax2+2x－1为开口向上的抛物线，ax2+2x－1>0总有x>0的解；…………9分②当a<0时，y=ax2+2x－1为开口向下的抛物线，而ax2+2x－1>0总有x>0的解，则△=4+4a>0,且方程ax2+2x－1=0至少有一正根.此时，－1<a<0.综上所述，…………11分a的取值范围为（－1，+∞）.…………12分（或用分离变量）20.解:(1)方程可化为.当时,.又,…………2分于是解得,故.…………5分(2)设为曲线上任一点,由知曲线在点处的切线方程为,即.…………8分令得,从而得切线与直线的交点坐标为.…………9分令得,从而得切线与直线的交点坐标为.…………10分所以点处的切线与直线,所围成的三角形面积为.故曲线上任一点处的切线与直线,所围成的三角形的面积为定值,此定值为.…………12分21.解：(1)在图1中,易得…………1分CDOBEH连结,在中,由余弦定理可得…………3分由翻折不变性可知,所以,所以,…………4分理可证,又,所以平面.…………6分(2)以点为原点,建立空间直角坐标系如图所示,则,,所以,设为平面的法向量,则,即,解得,令,得…………8分由(1)知,为平面的一个法向量,…………10分所以,即二面角的平面角的余弦值为.…………12分22.解：(1)依题意知，f