高二数学导数的应用知识精讲苏教版.doc

用心爱心专心高二数学导数的应用知识精讲苏教版【本讲教育信息】一.教学内容：导数的应用二.本周教学目标：1.进一步熟练函数的最大值与最小值的求法；2.初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题.三.本周知识要点：（一）基本知识1.极大值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点。2.极小值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点。3.极大值与极小值统称为极值。4.判别f(x0)是极大、极小值的方法：若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值。5.求可导函数f(x)的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′(x)。（2）求方程f′(x)=0的根。（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f(x)在这个根处无极值。6.函数的最大值和最小值:在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值。（1）在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值。（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的。（3）函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件。(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个。7.利用导数求函数的最值步骤:⑴求在内的极值；⑵将的各极值与、比较得出函数在上的最值。【典型例题】例1.在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？解法一：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积令＝0解得x=0（舍去），x=40并求得V(40)=16000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16000是最大值。答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16000cm3解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得箱子容积．（后面同解法一，略）由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数、在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值。例2.圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S=2πRh+2πR2由V=πR2h，得，则S(R)=2πR+2πR2=+2πR2令解得，R=，从而h====2即h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使饮料罐的容积最大？提示：S=2+h=V(R)=R=)=0．例3.已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润。解：收入利润令，即，求得唯一的极值点答：产量为84时，利润L最大。例4.一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得四周l=AB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b。解：由梯形面积公式，得S=(AD+BC)h,其中AD=2DE+BC，DE=h,BC=b∴AD=h+b∴S=①∵CD=，AB=CD∴l=×2+b②由①得b=h，代入②，∴l=l′==0,∴h=当h<时，l′<0，h>时，l′>0.∴h=时，l取最小值，此时b=小结：（1）解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义。（2）根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较。（3）相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单。【模