高考数学复习 专题02 函数与导数 变化率与导数、导数的计算易错点-人教版高三全册数学试题.doc

变化率与导数、导数的计算易错点主标题：变化率与导数、导数的计算易错点副标题：从考点分析变化率与导数、导数的计算易错点，为学生备考提供简洁有效的备考策略。关键词：变化率，导数，导数计算，易错点难度：3重要程度：5内容：【易错点】1．对导数概念的理解(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(×)(2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．(×)(3)f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．(√)2．导数的几何意义与物理意义(4)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(√)(5)物体的运动方程是s＝－4t2＋16t，在某一时刻的速度为0，则相应时刻t＝0.(×)(6)曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为2x－y＋1＝0.(√)3．导数的计算(7)若f(x)＝a3＋2ax－x2，则f′(x)＝3a2＋2x.(×)(8)函数y＝xcosx－sinx的导函数是y′＝－xsinx．(√)(9)[f(ax＋b)]′＝f′(ax＋b)．(×)[剖析]1．“过某点”与“在某点”的区别曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，如(6)中点(1,3)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．2．导数运算及切线的理解应注意的问题一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点，如(4)．三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积，如(9).【易错典例】若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，则a的值是()．A．1B.eq\f(1,64)C．1或eq\f(1,64)D．1或－eq\f(1,64)[错解]∵点O(0,0)在曲线f(x)＝x3－3x2＋2x上，∴直线l与曲线y＝f(x)相切于点O.则k＝f′(0)＝2，直线l的方程为y＝2x.又直线l与曲线y＝x2＋a相切，∴x2＋a－2x＝0满足Δ＝4－4a＝0，a＝1，选A.[答案]A[错因](1)片面理解“过点O(0,0)的直线与曲线f(x)＝x3－3x2＋2x相切”．这里有两种可能：一是点O是切点；二是点O不是切点，但曲线经过点O，解析中忽视后面情况．(2)本题还易出现以下错误：一是当点O(0,0)不是切点，无法与导数的几何意义沟通起来；二是盲目设直线l的方程，导致解题复杂化，求解受阻．[正解]易知点O(0,0)在曲线f(x)＝x3－3x2＋2x上，(1)当O(0,0)是切点时，同上面解法．(2)当O(0,0)不是切点时，设切点为P(x0，y0)，则y0＝xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋2x0，且k＝f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－6x0＋2.①又k＝eq\f(y0,x0)＝xeq\o\al(2,0)－3x0＋2，②由①，②联立，得x0＝eq\f(3,2)(x0＝0舍)，所以k＝－eq\f(1,4)，∴所求切线l的方程为y＝－eq\f(1,4)x.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,4)x，,y＝x2＋a，))得x2＋eq\f(1,4)x＋a＝0.依题意，Δ＝eq\f(1,16)－4a＝0，∴a＝eq\f(1,64).综上，a＝1或a＝eq\f(1,64).[答案]C[注意](1)求曲线的切线方程应首先确定已知点是否为切点是求解的关键，分清过点P的切线与在点P处的切线的差异．(2)熟练掌握基本初等函数的导数，导数的运算法则，正确进行求导运算．