高考数学三轮冲刺 大题提分 大题精做12 函数与导数：存在、恒成立与最值问题 理-人教版高三全册数学试题.docx

大题精做12函数与导数：存在、恒成立与最值问题[2019·广州一模]已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）当时，记的最小值为，求证．【答案】（1）函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）见解析．【解析】（1）当时，，的定义域是，，当时，；当时，．所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）证明：由（1）得的定义域是，，令，则，在上单调递增，因为，所以，，故存在，使得．当时，，，单调递减；当时，，，单调递增；故时，取得最小值，即，由，得，令，，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故，即时，取最大值1，．1．[2019·青海联考]已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当有最小值，且最小值不小于时，求的取值范围．2．[2019·咸阳模拟]设函数，．（1）当时，求的单调区间；（2）求证：当时，．3．[2019·东莞期末]已知函数，函数．（1）求函数的单调区间；（2）设，是函数的两个极值点，若，求的最小值．1．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1），当时，，所以函数在上单调递增；当时，令，解得，当时，，故函数在上单调递减；当时，，故函数在上单调递增．（2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，没有最小值，故．，整理得，即．令，易知在上单调递增，且；所以的解集为，所以．2．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）当时，，，令，则．当时，；当时，，∴函数的单调递增区间是；单调递减区间是．（2）由（1）知，当时，，∴当时，，即，当时，要证，只需证，令，，由，可得，则时，恒成立，即在上单调递增，∴．即，∴．3．【答案】（1）函数的增区间为；的减区间为；（2）．【解析】（1）由题意知，的定义域为．，当时，解得；当时，．所以函数的增区间为；的减区间为．（2）因为，从而，令，得，由于，设方程两根分别为，，由韦达定理可知，，，，设，则，因为，所以，又，所以，所以，整理得，解得或．所以，，所以在单调递减，，故的最小值是．