高三数学高考总复习：空间角与距离.doc

数学高考总复习：空间角与距离知识网络目标认知考试大纲要求：能用解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，能求距离.重点：线线角、线面角、二面角及点线、点面、面面距离等的求值问题.难点：正确作出异面直线所成的角，斜线与平面所成角以及二面角的平面角.知识要点梳理知识点一：异面直线所成角（1）定义：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）．为了简便，点通常取在异面直线的一条上.（2）异面直线所成的角的范围：.说明：异面直线所成的角为直角时，则称两异面直线互相垂直.（3）求异面直线所成角的步骤：作证算（4）求异面直线所成角的方法：平移法、向量法、补形法等.知识点二：线面角（1）定义：斜线和平面所成的角是指平面的斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，斜线和平面所成角的范围是(0,)；直线在平面内或直线与平面平行，它们所成角是零角；直线垂直平面它们所成角为.（2）直线和平面所成角的范围：[0,].说明：直线和平面所成角为直角时，则直线垂直于平面.（3）求直线和平面所成角的步骤：作证算知识点三：二面角（1）二面角的定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面.若棱为，两个面分别为的二面角记为；（2）二面角的平面角：过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条垂线，则叫做二面角的平面角；（3）二面角的平面角范围：；说明：二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直.（4）求二面角的步骤：作证算（5）作二面角的平面角的方法：①定义法：在棱上找一点O，以O为端点在两个面内分别作垂直于棱的两条射线组成平面角.②垂面法：在棱上找一点O，经过O点画垂直于棱的平面与两个面的交线组成平面角.③特殊图形中的中线法：二面角A-LM-B中AM=AL，BM=BL，则取LM的中点O，连结AO、BO，∠AOB是二面角的平面角.④三垂线定理（或逆定理）法：从二面角的一个面内选一个特殊点A，由A向另一个平面作垂线，垂足为B，再由B向棱作垂线交于C，则∠ACB为该二面角的平面角.⑤面积射影法：如果一个多边形在一个平面内的射影是多边形，且这两个多边形所在平面的二面角为则.知识点四：空间距离（1）异面直线的距离：两异面直线间公垂线段的长度.（2）点到平面的距离：已知点是平面外的任意一点，过点作，垂足为，则唯一，则是点到平面的距离.即一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离.（3）直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到平面的距离(转化为点面距离).（4）两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离.规律方法指导1、角（1）异面直线所成的角，直线和平面所成的角，二面角，都化归为平面几何中两条相交直线所成的角.（2）求异面直线所成的角或求角的余弦值时，一定要注意角的范围是，不要将余弦值求为负值.（3）求直线和平面所成的角，关键是作出斜线在平面内的射影，将直线与平面所成的角转化成线线所成的角来度量.（4）两平面相交所成二面角，一般有两个，要注意所求的是哪一个.2、距离（1）异面直线的距离：除求公垂线段长度外，通常化归为线面距离和面面距离.（2）线面距离，面面距离常化归为点面距离.（3）求点到平面的距离的方法：①直接法：先作出表示距离的线段，再证明它就是所求的距离，然后再计算.②间接法：用等体积法或者转化法.转化法即进行点面、线面、面面之间的转化，直到求出距离.