高考数学 命题角度5.doc

命题角度5.4：圆锥曲线的最值范围问题1.已知椭圆经过，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）设点分别为椭圆的右顶点、右焦点，经过点作直线交椭圆于两点，求四边形面积的最大值（为坐标原点）.【答案】(1)；(2)．试题解析：（1）由题设得：，解得：椭圆方程为.（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立得：.，其中.，其中.时，单调递增，（当时取等号）.2.已知椭圆的离心率为，点，，分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点，且．（1）求椭圆的方程；（2）已知直线：被圆：所截得的弦长为，若直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值．【答案】（1）（2）当，即时，面积取到最大值1．【解析】试题分析：利用离心率可以得出的关系，化为的关系，再利用的面积列出的方程，借助解出，写出椭圆方程，联立方程组，化为关于的一元二次方程，利用设而不求思想，借助根与系数关系，利用弦长公式表示出弦长，写出面积，利用换元法和配方法求出最值.试题解析：（1）由题意，椭圆的焦点在轴上，设椭圆标准方程为，则，所以，即，可得，，∴，∴，，所以椭圆的方程为．（2）由题意知，圆心到直线的距离为1，即，所以．由消去，得，∴，所以，设，，则，，所以，所以的面积为，令，则，所以当，即时，面积取到最大值1．【点睛】求椭圆的标准方程一边采用待定系数法，即列出两个关于的方程，再借助，解方程组求出；最值和范围问题、定点定值问题、存在性问题时直线与圆锥曲线位置关系中常见的考题，也是高考高频考点，本题为最值问题，先设出直线与曲线的焦点坐标，设而不求，联立方程组，利用根与系数关系，表示弦长和面积，最后求最值.3.已知椭圆过点，椭圆的左焦点为，右焦点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，且，直线与直线分别交于两点．（1）求椭圆的方程及线段的长度的最小值；（2）是椭圆上一点，当线段的长度取得最小值时，求的面积的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（I）由椭圆和抛物线y2＝4x有共同的焦点，求出抛物线的焦点坐标，根据a2=b2+c2，即可求得椭圆C的方程；（Ⅱ）根据（I）写出点A，B，设点P和直线AP，BP的方程，并且与直线y=3分联立，求出G，H两点，根据两点间的距离公式，根据求函数的最值方法可求,当平行于的直线与椭圆下方相切时，的面积取最大值,求此时三角形面积即可.（2）由（1）可知，当的长度取得最小值时，，将点代入，得，故此时点，则直线的方程为，此时，当平行于的直线与椭圆下方相切时，的面积取最大值，设直线，则由，得，则，所以，或（舍去）．由平行线间的距离公式，得此时点到直线的距离.故，即的面积的最大值为.4.如图,已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，右焦点为,点分别是该椭圆的上、下顶点，点是直线上的一个动点（与轴交点除外），直线交椭圆于另一点，记直线,的斜率分别为（1）当直线过点时，求的值；（2）求的最小值.【答案】(1)；（2）.试题解析：(1)由椭圆的长轴长是短轴长的倍得由题意,焦点,当直线过点时，则直线的方程为，即，令得，则联立，解得，或（舍），即因为所以（2）设，且，则直线的斜率为则直线的方程为联立，化简得，解得，所以，则所以的最小值为点睛：本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．含有向量的问题时，多注意利用设点坐标，进行向量的坐标运算比较简单；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．5.已知平面内一动点与两定点和连线的斜率之积等于.（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）设直线：（）与轨迹交于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，当变化时，求面积的最大值.【答案】（Ⅰ）（）;（Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）设点的坐标列式，即可求椭圆E的方程；（2）首先设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=x+m代入椭圆方程根据韦达定理与判别式求出x1+x2、x1x2和m2的范围，进而求出|AB|，设AB中点，求出和的坐标即可得到到的距离，可得，可求出三角形面积的最大值.试题解析：（Ⅰ）设的坐标为，依题意得，化简得轨迹的方程为（）.（Ⅱ）设，，联立方程组化简得：,有两个不同的交点，由根与系数的关系得，，，即且.设、中点为，点横坐标，，，线段的垂直平分线方程为.点坐标为.到的距离，由弦长公式得，，当且仅当即时等号成立，.点晴:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系.直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法.涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计