高考数学 命题角度5.doc

命题角度5.1：曲线与轨迹问题1.已知两点的坐标为，点到两点的距离比是一个常数，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.【答案】轨迹方程是：，表示以为圆心，以为半径的圆【解析】设出动点坐标为，把已知条件用坐标表示出来并化简，即得轨迹方程，并判断轨迹是什么图形．【点睛】求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：把题设条件直接“翻译”成含的等式，就得曲线的轨迹方程．要注意“翻译”时的等价性．（2）定义法：运用解析几何中一些常用定义（如直线、圆的定义），可从定义出发直接写出轨迹方程或从定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程．解题时注意利用转化思想，对已知条件有效过渡后，再联系相关的定义．（3）相关点法：相关点法的判定主要看题中是否具备两个条件：①主动点和从动点；②主动点在已知曲线上运动（或主动点轨迹易求），一般步骤是设主动点坐标为，所求点（从动点）坐标为，再找到两者之间的关系，用表示出，最后把代入已知轨迹方程，得到的关系式，即所求轨迹方程，注意化简时的等价性．2.已知圆C：为坐标原点，动点在圆外，过作圆的切线，设切点为M.若点P运动到（1,3）处，求此时切线；求满足条件的点P的轨迹方程.【答案】(1)或；（2）【解析】试题分析：（1）对切线的斜率是否存在分类讨论，用点斜式求得直线方程；（2）设出P点的坐标，代入两点间距离公式，化简即可得轨迹方程.（2）设,则，，由得：，化简得：点睛：本题主要考查直线与圆相切，点斜式求直线方程，分类讨论，轨迹方程的求法等，属于中档题.注意解决本类问题时，要使用直线和圆相切的性质，设直线时注意分类讨论，分析斜率存在与不存在两种情形，严防漏解，求轨迹方程时一般先设出动点坐标，再根据条件建立关于的关系，化简即可求出轨迹方程.3.如图，已知矩形四点坐标为A（0，-2），C（4，2），B（4，-2），D（0，2）．（1）求对角线所在直线的方程；（2）求矩形外接圆的方程；（3）若动点为外接圆上一点，点为定点，问线段PN中点的轨迹是什么，并求出该轨迹方程。【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】试题分析：（1）已知两点坐标可以采用两点式求出直线方程。（2）要求外接圆方程先求出圆心坐标，给出中点坐标就可以了，然后用两点之间的距离公式求半径（3）设点坐标，用未知的点坐标表示已知的点坐标，然后代入原圆的方程化简即可。（3）设P点坐标，线段PN中点M坐标为（x，y），则，∴①∵为外接圆上一点∴将①代入整理得：，∴该轨迹为以原点为圆心，为半径的圆，轨迹方程为。点睛：求轨迹方程的一般方法：定义法，如果动点的运动规律符合某种曲线定义，可先设直线方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。当然还有参数法，代入法等。4.如图,设P是圆上的动点,点D是P在x轴上的投影，M为线段PD上一点,且，(1)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被轨迹C所截线段的长度.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）。【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意P是圆上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD上一点，且，利用相关点法即可求轨迹；（Ⅱ）由题意写出直线方程与曲线C的方程进行联立，利用根与系数的关系得到线段长度试题解析：（Ⅰ）设M的坐标为（x,y）P的坐标为（xp,yp）由已知xp=x,∵P在圆上，∴，即C的方程为（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为的直线方程为，设直线与C的交点为将直线方程代入C的方程，得即∴∴线段AB的长度为考点：1．轨迹方程；2．直线与圆相交的性质5.已知点、，动点满足，设动点的轨迹为曲线，将曲线上所有点的纵坐标变为原来的一半，横坐标不变，得到曲线.（1）求曲线的方程；（2）是曲线上两点，且，为坐标原点，求面积的最大值.【答案】（1）（2）面积的最大值为1.试题解析：（I）设，由伸缩变换得：，即曲线E的方程为.（II）设，，直线方程为：，联立得，故，由，得，故原点到直线的距离，∴，令，则，又，当.当斜率不存在时，不存在，综合上述可得面积的最大值为1.点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.6.已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过点作的平行线交曲线于、两个不同的点，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）的面积的最大值为.【解析】试题分析：（1）由所给两圆的位置关系及图像，知动圆与圆内切，再由两圆内切时半径与圆心距的关系可得，则，满足椭圆的定义，可知点轨迹方程为椭圆，再由椭圆定义可求得各椭圆方程各系数值；（2）可设直线的方程，及，，将直线方程与椭圆方程联立，利