导数新题.doc

（13）导数新题原创4道1.函数y=f(x)的图象过原点且它的导函数y=f′(x)的图象是如图所示的一条直线，y=f(x)的图象的顶点在（）A.第Ⅰ象限B.第Ⅱ象限C.第Ⅲ象限D.第Ⅳ象限1.A导函数的正、负体现原函数的单调性，很明显原函数的极大值点在y轴的右侧，再加上原函数过原点，容易知道顶点在第Ⅰ象限.2.在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_________时它的面积最大.2.R设圆内接等腰三角形的底边长为2x,高为h，那么h=AO+BO=R+,解得x2=h(2R－h),于是内接三角形的面积为S=x·h=从而令S′=0,解得h=R,由于不考虑不存在的情况，所在区间(0,2R)上列表如下：h(0,R)R(,2R)S′+0－S增函数最大值减函数由此表可知，当x=R时，等腰三角形面积最大.3.已知，函数的图象与函数的图象相切。求b与c的关系式（用c表示b）解：依题意令，得，故.由于，得。点评：在由得到，就应想切线的交点必是在原两函数图象的交点，这是解决曲线切线问题的关键.4.已知a、b为实数，且b＞a＞e,其中e为自然对数的底，求证：ab＞ba.证法一：∵b＞a＞e,∴要证ab＞ba,只要证blna＞alnb,设f(b)=blna－alnb(b＞e),则f′(b)=lna－.∵b＞a＞e,∴lna＞1,且＜1,∴f′(b)＞0.∴函数f(b)=blna－alnb在(e,+∞)上是增函数，∴f(b)＞f(a)=alna－alna=0,即blna－alnb＞0,∴blna＞alnb,∴ab＞ba.证法二：要证ab＞ba,只要证blna＞alnb(e＜a＜b,即证,设f(x)=(x＞e)，则f′(x)=＜0,∴函数f(x)在(e,+∞)上是减函数，又∵e＜a＜b,∴f(a)＞f(b),即,∴ab＞ba.