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构造新函数,妙解导数题(一) (一)利用f(x)与x构造【例1】设f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,f(x)+xf′(x)<0,且f(-4)=0,则不等式xf(x)>0的解集为__________________.【例2】设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(1)=0,当x<0时,有xf′(x)-f(x)>0恒成立,则不等式f(x)>0的解集为________________________.当x<0时,xf′(x)-f(x)>0,可以推出 当x<0时,F′(x)>0,F(x)在(-∞,0)上单调递增. ∵f(x)为偶函数,x为奇函数,所以F(x)为奇函数, ∴F(x)在(0,+∞)上也单调递增.根据f(1)=0可得F(1)=0, 根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象, 根据图象可知f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).答案:B2.xf(x),是比较简单常见的f(x)与x之间的函数关系式,如果碰见复杂的,不易想的我们该如何处理,由此我们可以思考形如此类函数的一般形式. 例3已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x),且满足f(-1)=0,当x>0时,2f(x)>xf′(x),则使得f(x)>0成立的x的取值范围是_______________.当x>0时,xf′(x)-2f(x)<0,可以推出当x>0时,F′(x)<0,F(x)在(0,+∞)上单调递减. ∵f(x)为偶函数,x2为偶函数,所以F(x)为偶函数, ∴F(x)在(-∞,0)上单调递增.根据f(-1)=0可得F(-1)=0, 根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象, 根据图象可知f(x)>0的解集为(-1,0)∪(0,1).答案:A