高一数学幂函数人教实验版（B）知识精讲.doc

高一数学幂函数人教实验版（B）【本讲教育信息】一.教学内容：幂函数二.学习目标1.理解幂函数y=xa的概念；2.以简单的幂函数为例研究它们的定义域、奇偶性、单调性及图像；3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的性质和图像特征三.知识要点形如y＝xa的函数称为幂函数，其中x是自变量，a为常数.1.幂函数y=xn随着n的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法.熟练掌握y=xn，当n=±2，±1，±，，3时的图像和性质，列表如下：2.幂函数性质归纳.（1）所有的幂函数在（0，+∞）上都有意义，并且图像都过点（1，1）；（2）时，图像都通过两点（0，0）、（1，1）；并且在区间上是增函数.需特别注意的是，当时，幂函数的图像下凸；当时，幂函数的图像上凸；（3）当时，图像都通过一点（1，1）；图像在区间上是减函数.在第一象限内，当从右边趋向原点时，图像在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图像在轴上方无限地逼近轴正半轴.【典型例题】例1、比较下列各组数的大小：（1）分析：底数相异，指数相同的数比较大小，可以转化成比较同一幂函数，不同函数值的大小的问题，根据函数的单调性，只要比较自变量的大小就可以了.（3）分析：为了应用幂函数的单调性，要将指数统一，底数化为正数.即评述：此例充分显示了化归转化思想在比较幂函数大小中的运用.例2、已知，求的值.解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，∴.例3、已知是定义在R上的奇函数.（1）求f（x）及f－1（x）的表达式；（2）若当x∈（－1，1）时，不等式f－1（x）≥恒成立，试求m的取值范围.解：（1）f（x）在R上为奇函数（2）故所求m的取值范围是.例4、已知函数的定义域为，且.⑴当时，求函数的解析式及值域；⑵如果函数是偶函数，求的值；⑶当函数是偶函数时，用定义证明在上是增函数.解：（I）设，则得，∴，∴，当且仅当，即当时，取“=”号，∴的值域为.（2）如果函数是偶函数，则有，∴对任意恒成立.∴（3）当是偶函数时，设，则∵，∴，∴，，∴，即故在上是增函数.例5、已知函数（1）证明：f（x）是奇函数，并求f（x）的单调区间，（2）分别计算f（4）-5f（2）g（2）和f（9）-5f（3）g（3）的值，由此概括出涉及函数f（x）和g（x）的对所有不等于零的x都成立的一个等式。解：（1）函数f（x）的定义域为，关于原点对称，又∴f（x）是奇函数设f（x）在（0，+∞）上单调递增，又∵f（x）是奇函数，∴f（x）在（-∞，0）上也单调递增。（2）计算得f（4）-5f（2）g（2）=0，f（9）-5f（3）g（3）=0，由此概括出对所有不等于零的实数x得：f（x2）-5f（x）g（x）=0.主要数学思想方法1、通过观察、总结幂函数的性质，培养抽象概括和识图能力，数形结合思想运用能力，提高由特殊到一般的归纳概括能力。2、幂函数图像的位置和形状变化，并将图像的直观特点上升到理性知识，归纳、概括成函数的性质，培养概括的能力。3、通过对幂函数图像的学习，加深对幂函数性质的理解，体会通过观察、分析函数图像来研究函数性质的方法.【模拟试题】（答题时间：70分钟）一、选择题1.下列函数是幂函数的是（）A.y=2xB.y=2x-1C.y=（x+1）2D.y=2.下列说法正确的是（）A.y=x4是幂函数，也是偶函数；B.y=-x3是幂函数，也是减函数；C.y=是增函数，也是偶函数；D.y=x0不是偶函数.3.下列幂函数中，定义域为R的是（）A.y=x-2B.y=C.y=D.y=4.若A=，B=，则A、B的大小关系是（）A.A>BB.A<BC.A2>B3D.不确定5.下列是y=的图像的是（）6.y=x2与y=2x的图像的交点个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题7.y=（m2-2m+2）x2m+1是一个幂函数，则m=8.y=的单调增区间为.9.若，则的取值范围是。三、解答题10、已知，试求在上的最大值与最小值。11、已知函数x，y满足x≥1，y≥1。loga2x+loga2y=loga（ax2）+loga（ay2）（a>0且a≠1），求loga（xy）的取值范围。12、已知函数f（x）=logax（a>0且a≠1），（x∈（0，+∞）），若x1，x2∈（0，+∞），判断［f（x1）+f（x2）］与f（）的大小，并加以证明。试题答案1.D2.A3.A4.B5.B6.C7.18.9.10、解：令对称轴由得11、解：由已知等式得：loga2x+loga2y=（1+2logax）+（1+2logay），即（logax－1）2+（logay－1）2=4，令u=logax，v=logay，k=loga（xy），则（u－1）2+（v－1）2=4（uv≥0），k=