【素材】112实数与数轴冤死大海——无理数的发现.doc

11.2实数与数轴冤死大海——无理数的发现无限不循环小数叫无理数。据说，它的发现还曾掀起一场巨大的风波。在公元前6世纪的古希腊，研究几何是一种时尚，许多有学问的人都研究几何。毕达哥拉斯就是一位在几何学上表现出色的大数学家，他创立的毕达哥拉斯学派――一个宗教、科学和哲学性质的帮会，在数学研究上有很大成绩，例如：在几何学方面，毕达哥拉斯学派证明了“三角形内角之和等于两个直角”的论断，研究了黄金分割；发现了正五角形和相似多边形的作法；还证明了正多面体只有五种——正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。毕达哥拉斯学派有一个信条：宇宙间的一切数都能归结为整数或整数之比。毕达哥拉斯学派认为数最崇高，最神秘，他们所讲的数是指整数。“万物皆数”，就是说宇宙间各种关系都可以用整数或整数之比来表达。毕达哥拉斯哲学是以这样一个假定为基础的，即整数是人和物质的各种各样的性质之起因。这就导致对于数的性质的阐述与研究，并且同算术（作为数的理论）、几何学、音乐、球面学（天文学）一起，构成毕达哥拉斯研究计划的基本课程，称为四艺；再加上文法、逻辑和修辞学三科，是中世纪受教育的人必修的七门课。不过，毕达哥拉斯并不是真理的化身，他也犯过不小的错。当时，毕达哥拉斯手下有许多门徒，他们都是些献身数学研究的人。毕达哥拉斯教他们学习数学知识，但不准把学到的知识传给外人，若是他们中有谁有了新的发现，也都归毕达哥拉斯。违背这些规定的人就要被处死。希伯斯是个有才智的学生，但却冤死在毕达哥拉斯这位天才老师的手中。事情是这样的。希伯斯以前，人们尚不认识无理数。希伯斯在研究等腰直角三角形斜边与一直角边之比，或正方形对角线与其一边之比时，发现其比不能用整数之比表达时，便很吃惊。他还发现：如果两条直角边为l，1和7、1/3时，三角形的斜边就无法用整数之比来表示。于是他断定存在一种新的数，那就是无理数。希伯斯当时兴冲冲地拿这个问题与同学们一起讨论，他们虽然觉得希伯斯有一定的道理，却只好面面相觑，不敢妄加评论。老师毕达哥拉斯听说了这件事情，气得火冒三丈。他认为这个新的数是“天外来客”。原来，前辈学者认为：几何图形是由某种不能分割的原子组成的。按照这种理论，任何两条线段的比就是它们原子数目的比。因而，毕达哥拉斯断言：任何两条线段的比都可用两个整数比来表示。可以想象，无理数的发现让毕达哥拉斯学派受到了多么沉重的打击。小小的无理数竟然动摇了他们惨淡经营的宇宙理论。怎么办？毕达哥拉斯的可悲，在于他不敢视这个新的数学问题，而是企图借助宗教信条来维护他的权威。他搬出学派的誓言，扬言要严惩敢于“泄密”的人。然而，真理从来就不是权劫的奴仆，真理的声音是谁也封锁不了的。渐渐地，有一种新的数存在的消息传扬了开去。而这一切始于希伯斯，他这样研究的结果无疑是胆大包天，作乱犯上，对于神圣的权威来说，这是一种亵赎。毕达哥拉斯恼羞成怒，下令把希伯斯抓来活埋。希伯斯听说后心惊胆颤，连夜逃走。乘着夜色，他一边逃一边想：这个地方已经没法呆了，还是逃到海外去吧。虽然他在毕达哥拉斯老师那儿学到许多东西，而且心存留恋，但眼下这处境已经不容他继续跟随老师学习知识了。要逃就逃得远一点，他毅然朝地中海的方向跑去。希伯斯上了一条船。虽有些小波浪，还勉强可以航行。希伯斯最最担心的事情却是后面的追兵。要是毕述哥拉斯发现他逃跑，一定会派人追来。不幸的是，希伯斯的担心果然成了现实。毕达哥拉斯派人追赶他的，正是他的对头克迪拉。他明白自己寡不敌众，在劫难逃了……还有一种说法是：希伯斯在学习研究勾股定理的时候发现了，边长为1的正方形，它的对角线（根号2）却不能用整数之比来表达。这一发现实际上是推翻了教派原来的论断，触犯了这个学派的信条。他们不许希帕索斯泄露存在根2（即无理数）的秘密，但是天真的希帕索斯在无意中向别人谈到了他的发现的事实。后来毕达哥拉斯教派为了维护教派的信条，以破坏教规为理由将希帕索斯装进大口袋扔进了大海。希帕索斯因为发现了根号2这个“无理数”的存在，揭示了一个科学的真理付出了生命的代价。希伯斯就这样冤屈地死在地中海里，然而像根号2这样的“无理数”存在的事实，却不可能像希伯斯那样一死了之。他首先提出的无理数并没有永远沉入地中海，也没有永远地“无理”下去。后来人们终于认识到了无理数的的确确是存在的。无理数应有地位的确立，对以后的数学发展起到了极大的推动作用。这类无理数的发现，是数学史上一个重要的发现。无理数发现之后，人们扩大了对数的认识。虽然有理数的个数是无穷无尽的，但是仍然不能包括所有的一切的数。在相邻的两个有理数之间，一定还有许多无理数。有理数加上无理数，才能组成完整的连续不断的实数。有了无理数，人们才能量出许多线段的确切长度；才能算出许多图形的确切面积，比如半径为1的圆，它的面积就是个无理数π。无理数的发现推进了方程的研究