高二数学双曲线苏教版知识精讲 试题.doc

高二数学双曲线苏教版【本讲教育信息】一.教学内容：双曲线二.重点、难点：重点：双曲线的定义、方程、几何性质．掌握双曲线的标准方程的推导及标准方程．难点：理解参数a、b、c、e的关系及渐近线方程．三.主要知识点1、双曲线的定义：平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点两焦点的距离叫做焦距．说明：双曲线的定义用代数式表示为||MF1|－|MF2||＝2a其中2a＜|F1F2|这里要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a＜|F1F2|这两点与椭圆的定义有本质的不同．当|MF1|－|MF2|＝2a时双曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当|MF1|－|MF2|＝－2a时双曲线仅表示焦点F1所对应的一支；当2a＝|F1F2|时轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；当2a＞|F1F2|时动点轨迹不存在.2、标准方程的推导（1）建系设点建立坐标系应遵循简单和优化的原则如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线斜率等）的表达式简单化注意充分利用图形的对称性使学生认识到下列选取方法是恰当的.以两定点F1、F2的直线为x轴线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系（如图）．设|F1F2|＝2c（c＞0）M（xy）为双曲线上任意一点则有F1（－c0）F2（c0）．（2）点的集合由定义得出椭圆双曲线集合为：P＝{M||MF1－MF2|＝2a}.（3）代数方程（4）化简方程（其中c2＝a2+b2）3、两种双曲线性质的比较焦点在x轴上的双曲线焦点在y轴上的双曲线几何条件与两个定点的距离差的绝对值等于常数（小于这两个定点之间的距离）标准方程－＝1（a>0b>0）－＝1（a>0b>0）图形范围|x|≥a|y|≥a对称性x轴y轴原点顶点坐标（±a0）（0±a）实轴虚轴x轴实轴长2ay轴虚轴长2by轴实轴长2ax轴虚轴长2b焦点坐标（±c0）c＝（0±c）c＝离心率e＝e>1渐近线y＝±xy＝±x4、方法小结（1）由给定条件求双曲线的方程常用待定系数法.首先是根据焦点位置设出方程的形式（含有参数）再由题设条件确定参数值应特别注意：①当焦点位置不确定时方程可能有两种形式应防止遗漏；②已知渐近线的方程bx±ay＝0求双曲线方程可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ（λ≠0）根据其他条件确定λ的值.若求得λ＞0则焦点在x轴上若求得λ＜0则焦点在y轴上．（2）由已知双曲线的方程求基本量注意首先应将方程化为标准形式再计算并要特别注意焦点位置防止将焦点坐标和准线方程写错．（3）双曲线中有一个重要的Rt△OAB（如下图）它的三边长分别是a、b、c．易见c2＝a2+b2若记∠AOB＝θ则e＝＝．（4）参数a、b是双曲线的定形条件两种标准方程中总有a＞0b＞0；双曲线焦点位置决定标准方程的类型；a、b、c的关系是c2＝a2+b2；在方程Ax2+By2＝C中只要AB＜0且C≠0就是双曲线的方程．（5）给定了双曲线方程就可求得确定的两条渐近线．但已知渐近线方程只是限制了双曲线张口的大小不能直接写出双曲线方程．但若已知渐近线方程是±＝0则可把双曲线方程表示为－＝λ（λ≠0）再根据已知条件确定λ的值求出双曲线的方程．【典型例题】例1.根据下列条件求双曲线方程：（1）与双曲线－＝1有共同的渐近线且过点（－32）；（2）与双曲线－＝1有公共焦点且过点（32）.（3）求中心在原点两对称轴为坐标轴并且经过P（3）Q（5）．剖析：设双曲线方程为－＝1求双曲线方程即求a、b为此需要关于a、b的两个方程由题意易得关于a、b的两个方程.解法一：（1）设双曲线的方程为－＝1由题意得解得a2＝b2＝4．所以双曲线的方程为－＝1．（2）设双曲线方程为－＝1.由题意易求c＝2．又双曲线过点（32）∴－＝1.又∵a2+b2＝（2）2∴a2＝12b2＝8．故所求双曲线的方程为－＝1．解法二：（1）设所求双曲线方程为－＝λ（λ≠0）将点（－32）代入得λ＝所以双曲线方程为－＝．（2）设双曲线方程为－＝1将点（32）代入得k＝4所以双曲线方程为－＝1．评述：求双曲线的方程关键是求a、b在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e）之间的关系并注意方程思想的应用.若已知双曲线的渐近线方程ax±by＝0可设双曲线方程为a2x2－b2y2＝λ（λ≠0）．与－＝1同焦点的可设为－＝1（3）设双曲线方程为（mn>0）将PQ两点坐标代入求得m＝－16n＝－9.故所求方程为说明：若设－＝1或－＝1两种情况求解比较繁琐．例2.△ABC中ABC所对的边分别为abcB（－10）C（10）求满足sinC－sinB＝sinA时顶点A的轨迹方程并画出图形．解：根据正弦定理得c－b＝a＝1即AB－AC＝1所以点A的轨迹为双曲线又