高二数学双曲线知识精讲 苏教版 试题.doc

高二数学双曲线知识精讲一.本周教学内容：双曲线二、本周教学目标：1、了解双曲线的标准定义能根据已知条件求双曲线的标准方程并能初步应用．2、了解双曲线的几何性质如范围、对称点、顶点、渐近线、离心率等．三、本周知识要点：1、双曲线的定义：平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线即这两个定点叫做双曲线的焦点两焦点间的距离叫做焦距概念中几个容易忽略的地方：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于”．在同样的差下两定点间距离较长则所画出的双曲线的开口较开阔（两条平行线）．两定点间距离较短（大于定差）则所画出的双曲线的开口较狭窄（两条射线）．双曲线的形状与两定点间距离、定差有关．2、双曲线的标准方程：（1）双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点在y轴上两种：焦点在轴上时双曲线的标准方程为：（）；焦点在轴上时双曲线的标准方程为：（）（2）有关系式成立且其中a与b的大小关系：可以为3、焦点的位置：从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母、项的分母的大小来确定分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴．而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置即项的系数是正的那么焦点在轴上；项的系数是正的那么焦点在轴上．二、双曲线的几何性质1、范围、对称性由标准方程从横的方向来看直线x＝－ax＝a之间没有图象从纵的方向来看随着x的增大y的绝对值也无限增大所以曲线在纵方向上可无限伸展不像椭圆那样是封闭曲线．双曲线不封闭但仍称其对称中心为双曲线的中心．2、顶点顶点：特殊点：实轴：长为2aa叫做实半轴长．虚轴：长为2bb叫做虚半轴长．双曲线只有两个顶点而椭圆则有四个顶点这是两者的又一差异3、渐近线过双曲线的两顶点作Y轴的平行线经过作X轴的平行线四条直线围成一个矩形．矩形的两条对角线所在直线方程是（）这两条直线就是双曲线的渐近线．4、等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率．等轴双曲线可以设为：当时交点在x轴上当时焦点在y轴上．5、共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为那么此双曲线方程就一定是：或写成．6、双曲线的草图具体做法是：画出双曲线的渐近线先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线．7、离心率双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率．范围：双曲线形状与e的关系：e越大即渐近线的斜率的绝对值就越大这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知双曲线的离心率越大它的开口就越阔．【典型例题】例1.已知双曲线两个焦点的坐标为双曲线上一点P到的距离之差的绝对值等于6求双曲线的标准方程．解：因为双曲线的焦点在轴上所以设它的标准方程为（）∵∴∴所求双曲线的标准方程为例2.已知双曲线的焦点在轴上中心在原点且点在此双曲线上求双曲线的标准方程．解：因为双曲线的焦点在轴上中心在原点所以设所求双曲线的标准方程为（）则有即解关于的二元一次方程组得所以所求双曲线的标准方程为变式例题1点A位于双曲线上是它的两个焦点求的重心G的轨迹方程．解：设的重心G的坐标为则点A的坐标为因为点A位于双曲线上从而有即所以的重心G的轨迹方程为点评：求轨迹方程常用的方法是直接求法和间接求法两种．例1是直接利用待定系数法求轨迹方程．本题则是用间接法（也叫代入法）来解题补充本例是为了进一步提高同学们分析问题和解决问题的能力．另外本题所求轨迹中包含一个隐含条件它表现为轨迹上点的坐标应满足一个不等关系而这一点正是容易忽略的、造成错误的地方．例3.一炮弹在某处爆炸在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s．（1）爆炸点应在什么样的曲线上？（2）已知A、B两地相距800m并且此时声速为340m／s求曲线的方程．分析：解应用题的关键是建立数学模型．根据本题题设和结论注意到在A处听到爆炸声的时间比B处晚2s这里声速取同一个值．解：（1）由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差可知A、B两处与爆炸点的距离的差因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上．因为爆炸点离A处比离B处更远所以爆炸点应在靠近B处的一支上．（2）如图建立直角坐标系使A、B两点在轴上并且点O与线段AB的中点重合．设爆炸点P的坐标为则|PA|－|PB|＝340×2＝680即2＝680＝340．又|AB|＝800∴2c＝800c＝400＝44400．∵|PA|－|PB|＝680＞0∴＞0所求双曲线的方程为（＞0）例4.求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．解：把方程化为标准方程由此可知实半轴长a＝4虚半轴长b＝3焦点的坐