高一数学函数人教实验版（B）知识精讲.doc

用心爱心专心高一数学函数人教实验版（B）【本讲教育信息】一.教学内容：函数本讲主要内容包括函数的概念和函数的三种表示方法（列表法、图像法和解析法）。此外，还介绍了区间的定义、映射的概念，并通过例题介绍了一些简单函数的定义域、值域的求法和分段函数的定义及其应用。本周的重点是函数的概念和性质，难点是深化理解函数的概念。本讲知识结构1.函数的概念本小节的重点是在映射的基础上理解函数的概念，难点是对函数符号的理解。本小节通过大量的例子让同学们用对应的观点和映射的观点来理解函数。先从初中学过的变量观点的函数概念说起，借助对应关系和集合语言得到了函数更为确切的定义，然后学习映射的概念，之后再用映射的概念来研究函数，使同学们对函数概念的理解更加深刻。在学习中，同学们要注意理解映射是一种特殊的一对一或多对一的对应，函数则是建立在两个非空集合之间的映射。定义域、对应法则是函数的两个要素。判断两个函数是否相同只需判断它们的定义域、对应法则是否相同即可。对函数符号的理解是同学们学习中的难点。这是一个抽象的数学符号，也仅仅是函数符号，它表示“y是x的函数”，指对定义域中的任意x，在“对应法则f”的作用下，即可得到y。f（x）既不表示“y等于f与x的乘积”，也不一定是解析式。要注意符号f（a）与f（x）的区别与联系，f（a）表示当自变量x＝a时函数f（x）的值，它是一个常量；而f（x）是自变量x的函数。在一般情况下，它是一个变量，f（a）是f（x）在x＝a时的一个特殊值。“区间”和“无穷大”是本节中的两个重要概念。区间是数学中常用的术语和符号，在学习时要记住闭区间、开区间、半开半闭区间的符号及其含义。理解[a，b]，（a，b），[a，b），（a，b]的含义，在数轴上表示区间时注意端点的表示规则。理解“＋∞”和“－∞”的含义，熟悉用（－∞，＋∞）表示实数集R。学习过程中要充分理解教材中的3个例题，感受函数概念的应用，体会求函数定义域、函数在x取某些特定值时的函数值和值域、函数关系式的转化的方法。体会换元法的应用。2.函数的表示方法本小节主要介绍三种常用的函数的表示方法：列表法、图象法、解析法。学习时注意感受某函数分别适用于哪一种表示方法，各表示方法的表示规则和优缺点。注意用图像法表示函数时的作图方法及步骤，注意体会“数形结合”的数学思想方法的应用；在学习解析法表示函数时，特别注意递归式的解析式和分段函数的表示及意义。本节的学习要求是理解各种表示方法的含义和会用适当的方法表示已知函数。【典型例题】例1.求下列函数的定义域：（1）（2）（3）解：（1）由，得：，所以此函数的定义域是{x||}（2）由0，解得此函数的定义域是（3）由此函数的定义域是为{x|x<0}【小结】（1）定义域的结果应写成集合形式。（2）已给出解析式的函数求定义域时，定义域应为使解析式的每一部分都有意义的自变量的集合，并注意交集运算。例2.已知函数，求f（x）的解析式解：设2x＋1＝t，则，把它代入原表达式，得：。所以，【小结】本题解答充分利用了换元思想，注意体会方法与步骤。例3.设，求（1）集合A中和－3的象；（2）集合B中和－3的原象。解：（1）将分别代入，得的象是，－3的象是－3。（2）将分别代入，得的原象是，－3的原象是－3。【小结】本题利用了映射中象与原象的定义以及两者的对应关系求解。例4.已知函数（a，b为不等于零的实数），满足f（2）＝1，且f（x）＝x有唯一解，试求函数的解析式。解：由f（2）＝1，得：由f（x）＝x，得：，此方程的解为，又因为f（x）＝x有唯一解，所以，解得：b＝1，代入，得：，故所求解析式为。【小结】求函数的解析式，也就是考查函数表达式的解析法，此题关键是求出a、b的值。例5.用分段函数f（x）表示，并求，且指出定义域和值域。解：当x<－1时，y＝2－x－1－x＝1－2x当；当；所以，；且f[f（0）]＝f（3）＝5;f（x）的定义域为R，值域为。【小结】求分段函数的定义域要注意分段得当。例6.已知f（x）＝ax2＋bx＋c，若，求f（x）的解析式。解：由，得：f（1）＝1，f（2）＝3即得：，解得：，于是所求解析式为。【小结】利用递归关系发现f（0），f（1），f（2）的值是本题特别要注意的例7.（1）如图，根据函数f（x）的图象写出它的解析式。（2）画出函数y＝x2－2|x|－3的图象。解：（1）图象分段给出，解析式也应分段求得：当当当所以，（2）【小结】画分段函数的图象时，注意连接点，以及描点作图。【模拟试题】1.函数的定义域是（）A.的一切实数B.的一切实数C.的一切实数D.的一切实数2.f是从集合X＝{a，b，c}到集合Y＝{d，e}的一个映射，则满足映射条件的“f”共有（）A.5个B.6个C.7个D.8个3.如图，在直角坐标系的第一象限内，