高一数学教案：正弦定理、余弦定理（1）.doc

用心爱心专心课题：正弦定理、余弦定理（1）教学目的：⑴使学生掌握正弦定理⑵能应用解斜三角形，解决实际问题教学重点：正弦定理教学难点：正弦定理的正确理解和熟练运用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、引言：在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角那么斜三角形怎么办？——提出课题：正弦定理、余弦定理二、讲解新课：正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即===2R（R为△ABC外接圆半径）1．直角三角形中：sinA=，sinB=，sinC=1即c=，c=，c=．∴==2．斜三角形中证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中S△ABC=两边同除以即得：==证明二：（外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ∴同理=2R，＝2R证明三：（向量法）过A作单位向量垂直于由+=两边同乘以单位向量得•(+)=•则•+•=•∴||•||cos90+||•||cos(90C)=||•||cos(90A)∴∴=同理，若过C作垂直于得：=∴==正弦定理的应用从理论上正弦定理可解决两类问题：1．两角和任意一边，求其它两边和一角；2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（见图示）已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况:⑴若A为锐角时:⑵若A为直角或钝角时:三、讲解范例：例1已知在解：∴由得由得例2在解：∵∴例3解：，例4已知△ABC，BＤ为B的平分线，求证：AB∶BC＝AＤ∶ＤC分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而B的平分线BD将△ABC分成了两个三角形：△ABD与△CBD，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB∶AD＝BC∶DC，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论证明：在△ABD内，利用正弦定理得：在△BCD内，利用正弦定理得：∵BD是B的平分线∴∠ABD＝∠DBC∴sinABD＝sinDBC∵∠ADB＋∠BDC＝180°∴sinADB＝sin（180°－∠BDC）＝sinBDC∴∴评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用四、课堂练习：1在△ABC中，,则k为()A2RBRC4RD(R为△ABC外接圆半径)2△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为()A直角三角形B等腰直角三角形C等边三角形D等腰三角形3在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4在△ABC中，求证：参考答案：1A，2A3C4五、小结正弦定理，两种应用六、课后作业：1在△ABC中，已知，求证：a2，b2，c2成等差数列证明：由已知得sin（B＋C）sin（B－C）＝sin（A＋B）·sin（A－B）cos2B－cos2C＝cos2A－cos2B2cos2B＝cos2A＋cos2C∴2sin2B＝sin2A＋sin2C由正弦定理可得2b2＝a2＋c2即a2，b2，c2成等差数列七、板书设计（略）八、课后记：