高中数学联赛模拟试题(三) 新人教A版 试题.doc

2010全国高中数学联赛模拟试题3第一试一、选择题：（每小题6分共36分）若集合S＝{n|n是整数且22n＋2整除2003n＋2004}则S为（A）空集（B）单元集（C）二元集（D）无穷集若多项式x2－x＋1能除尽另一个多项式x3＋x2＋ax＋b（a、b皆为常数）．则a＋b等于（A）0（B）－1（C）1（D）2设a是整数关于x的方程x2＋(a－3)x＋a2＝0的两个实根为x1、x2且tan(arctanx1＋arctanx2)也是整数．则这样的a的个数是（A）0（B）1（C）2（D）4设一个四面体的体积为V1且它的各条棱的中点构成一个凸多面体其体积为V2．则为（A）（B）（C）常数但不等于和（D）不确定其值与四面体的具体形状有关在十进制中若一个至少有两位数字的正整数除了最左边的数字外其余各个数字都小于其左边的数字时则称它为递降正整数．所有这样的递降正整数的个数为（A）1001（B）1010（C）1011（D）1013在正方体的8个顶点中能构成一个直角三角形的3个顶点的直角三点组的个数是（A）36（B）37（C）48（D）49二、填空题：（每小题9分共54分）若直线xcos＋ysin＝cos2－sin2（0＜＜）与圆x2＋y2＝有公共点则的取值范围是．在平面直角坐标系xOy中一个圆经过(02)、(31)且与x轴相切．则此圆的半径等于．若常数a使得关于x的方程lg(x2＋20x)－lg(8x－6a－3)＝0有惟一解．则a的取值范围是．f(x)＝＋xcosx＋cos(2x)(x∈R)的最小值是．若k是一个正整数且2k整除则k的最大值为．设ABCD为凸四边形AB＝7BC＝4CD＝5DA＝6其面积S的取值范围是(ab]．则a＋b＝．三、（20分）设椭圆的左右焦点分别为F1、F2左准线为l点P在椭圆上．作PQ⊥lQ为垂足．试问：对于什么样的椭圆才存在这样的点P使得PQF1F2为平行四边形？说明理由（答案用关于离心率e的等式或不等式来表示）．四、（20分）设a0＝1a1＝2an+1＝2an-1＋nn＝123…．试求出an的表达式（答案用有限个关于n的式子相加的形式表示且项数与n无关）．五、（20分）试求出所有的有序整数对(ab)使得关于x的方程x4＋(2b－a2)x2－2ax＋b2－1＝0的各个根均是整数．第二试一、（50分）点P在△ABC内且∠BAP＝∠CAP连结BP并延长交AC于点Q．设∠BAC＝60°且．求证：P是△ABC的内心．二、（50分）设正数a、b满足且使得关于x的不等式≥总有实数解．试求f(ab)＝a2－3ab＋b2的取值范围．三、（50分）试求出正整数k的最小可能值使得下述命题成立：对于任意的k个整数a1a2…ak（允许相等）必定存在相应的k的整数x1x2…xk（也允许相等）且|xi|≤2(i＝12…k)|x1|＋|x2|＋…＋|xk|≠0使得2003整除x1a1＋x2a2＋…＋xkak．参考答案第一试一、选择题：题号123456答案CCBADC二、填空题：1、；2、；3、；4、－1；5、2004；6、．三、．四、a2n＝2n+2－2n－3；a2n+1＝3×2n+1－2n－4．五、(ab)＝(2l―1l2―l―1)(l∈Z)第二试一、证略（提示：将条件变形为然后应用正弦定理进行三角变换得∠BPC＝120°利用同一法即证）；二、(－∞－1)．三、kmin＝7．