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2010全国高中数学联赛模拟试题(七) 第一试 一、选择题:(每小题6分,共36分) a、b是异面直线,直线c与a所成的角等于c与b所成的角,则这样的直线c有 (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)无数条 已知f(x)是R上的奇函数,g(x)是R上的偶函数,若f(x)g(x)=x2+2x+3,则f(x)+g(x)= (A)x2+2x3 (B)x2+2x3 (C)x22x+3 (D)x22x+3 已知△ABC,O为△ABC内一点,∠AOB=∠BOC=∠COA=,则使AB+BC+CA≥m(AO+BO+CO) 成立的m的最大值是 (A)2 (B) (C) (D) 设x=0.820.5,y=sin1,z=log3则x、y、z的大小关系是 (A)x<y<z (B)y<z<x (C)z<x<y (D)z<y<x 整数的末尾两位数字是 (A)10 (B)01 (C)00 (D)20 设(a,b)表示两自然数a、b的最大公约数.设(a,b)=1,则(a2+b2,a3+b3)为 (A)1 (B)2 (C)1或2 (D)可能大于2 二、填空题:(每小题9分,共54分) 若f(x)=x10+2x92x82x7+x6+3x2+6x+1,则f(1)=. 设F1、F2是双曲线x2y2=4的两个焦点,P是双曲线上任意一点,从F1引∠F1PF2平分线的垂线,垂足为M,则点M的轨迹方程是. 给定数列{xn},x1=1,且,则x1999x601=. 正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,E是CD中点,F是BB1中点,则四面体AD1EF的体积是. 在坐标平面上,由条件所限定的平面区域的面积是. 12个朋友每周聚餐一次,每周他们分成三组,每组4人,不同组坐不同的桌子.若要求这些朋友中任意两个人至少有一次同坐一张桌子,则至少需要周. 三、(20分) 已知椭圆过定点A(1,0),且焦点在x轴上,椭圆与曲线|y|=x的交点为B、C.现有以A为焦点,过B、C且开口向左的抛物线,抛物线的顶点坐标M(m,0).当椭圆的离心率e满足,求实数m的取值范围. 四、(20分) a、b、c均为实数,a≠b,b≠c,c≠a. 证明:≤<2. 五、(20分) 已知f(x)=ax4+bx3+cx2+dx,满足 (i)a、b、c、d均大于0; (ii)对于任一个x∈{2,1,0,1,2},f(x)为整数; (iii)f(1)=1,f(5)=70. 试说明,对于每个整数x,f(x)是否为整数. 第二试 一、(50分) 设K为△ABC的内心,点C1、B1分别为边AB、AC的中点,直线AC与C1K交于点B2,直线AB于B1K交于点C2.若△AB2C2于△ABC的面积相等,试求∠CAB. 二、(50分) 设,f(x)=(xw)(xw3)(xw7)(xw9). 求证:f(x)为一整系数多项式,且f(x)不能分解为两个至少为一次的整系数多项式之积. 三、(50分) 在圆上有21个点.求在以这些点为端点组成的所有的弧中,不超过120°的弧的条数的最小值. 参考答案 第一试 一、选择题: 题号123456答案DACBCC 二、填空题: 1、4; 2、x2+y2=4; 3、0; 4、; 5、16; 6、5. 三、. 四、证略. 五、是. 第二试 一、60°; 二、证略. 三、100.