高中数学 222(等差数列前n项和)例题解析 新人教B版必修5 试题.doc

等差数列的前n项和·例题解析【例1】等差数列前10项的和为140其中项数为奇数的各项的和为125求其第6项．解依题意得解得a1=113d=－22．∴其通项公式为an=113＋(n－1)·(－22)=－22n＋135∴a6=－22×6＋135＝3说明本题上边给出的解法是先求出基本元素a1、d再求其他的．这种先求出基本元素再用它们去构成其他元素的方法是经常用到的一种方法．在本课中如果注意到a6=a1＋5d也可以不必求出an而即a6＝3．可见在做题的时候要注意运算的合理性．当然要做到这一点必须以对知识的熟练掌握为前提．【例4】在1和2之间插入2n个数组成首项为1、末项为2的等差数列若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为9∶13求插入的数的个数．解依题意2＝1＋(2n＋2－1)d①由①有(2n＋1)d=1⑤∴共插入10个数．【例5】在等差数列{an}中设前m项和为Sm前n项和为Sn且Sm＝Snm≠n求Sm+n．且Sm＝Snm≠n∴Sm+n＝0【例6】已知等差数列{an}中S3=21S6=64求数列｛|an|｝的前n项和Tn．d已知S3和S6的值解方程组可得a1与d再对数列的前若干项的正负性进行判断则可求出Tn来．解方程组得：d＝－2a1＝9∴an＝9＋(n－1)(n－2)＝－2n＋11其余各项为负．数列{an}的前n项和为：∴当n≤5时Tn＝－n2＋10n当n＞6时Tn＝S5＋|Sn－S5|＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn∴Tn＝2(－25＋50)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50说明根据数列{an}中项的符号运用分类讨论思想可求｛|an|｝的前n项和．【例7】在等差数列{an}中已知a6＋a9＋a12＋a15＝34求前20项之和．解法一由a6＋a9＋a12＋a15＝34得4a1＋38d＝34＝20a1＋190d＝5(4a1＋38d)=5×34=170由等差数列的性质可得：a6＋a15=a9＋a12＝a1＋a20∴a1＋a20=17S20＝170【例8】已知等差数列{an}的公差是正数且a3·a7=－12a4＋a6=－4求它的前20项的和S20的值．解法一设等差数列{an}的公差为d则d＞0由已知可得由②有a1＝－2－4d代入①有d2=4再由d＞0得d＝2∴a1=－10最后由等差数列的前n项和公式可求得S20＝180解法二由等差数列的性质可得：a4＋a6＝a3＋a7即a3＋a7＝－4又a3·a7=－12由韦达定理可知：a3a7是方程x2＋4x－12＝0的二根解方程可得x1=－6x2＝2∵d＞0∴{an}是递增数列∴a3＝－6a7=2【例9】等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn和Tn若[]∵2a100＝a1＋a1992b100＝b1＋b199解法二利用数列{an}为等差数列的充要条件：Sn＝an2＋bn可设Sn＝2n2kTn＝n(3n＋1)k说明该解法涉及数列{an}为等差数列的充要条件Sn=an2＋bn由k是常数就不对了．【例10】解答下列各题：(1)已知：等差数列{an}中a2＝3a6＝－17求a9；(2)在19与89中间插入几个数使它们与这两个数组成等差数列并且此数列各项之和为1350求这几个数；(3)已知：等差数列{an}中a4＋a6＋a15＋a17＝50求S20；(4)已知：等差数列{an}中an=33－3n求Sn的最大值．分析与解答a9=a6＋(9－6)d=－17＋3×(－5)=－32(2)a1=19an+2=89Sn+2＝1350(3)∵a4＋a6＋a15＋a17=50又因它们的下标有4＋17＝6＋15=21∴a4＋a17=a6＋a15=25(4)∵an=33－3n∴a1＝30∵n∈N∴当n=10或n=11时Sn取最大值165．【例13】等差数列{an}的前n项和Sn＝m前m项和Sm＝n(m＞n)求前m＋n项和Sm+n．解法一设{an}的公差d按题意则有=－(m＋n)解法二设Sx＝Ax2＋Bx(x∈N)①－②得A(m2－n2)＋B(m－n)＝n－m∵m≠n∴A(m＋n)＋B=－1故A(m＋n)2＋B(m＋n)＝－(m＋n)即Sm+n＝－(m＋n)说明a1d是等差数列的基本元素通常是先求出基本元素再解的“整体化”思想在解有关数列题目中值得借鉴．解法二中由于是等差数列由例22故可设Sx=Ax2＋Bx．(x∈N)【例14】在项数为2n的等差数列中各奇数项之和为75各偶数项之和为90末项与首项之差为27则n之值是多少？解∵S偶项－S奇项=nd∴nd=90－75=15又由a2n－a1＝27即(2n－1)d=27【例15】在等差数列{an}中已知a1