利用导数证明不等式.doc

利用导数证明不等式动向解读：函数、导数、不等式的综合问题是近几年高考的一个热点题型，这类问题以“参数处理”为主要特征，以“导数运用”为主要手段，以“函数的单调性、极值、最值”为结合点，往往涉及到函数、导数、不等式、方程等多方面的知识，需要综合运用等价转换、分类讨论、数形结合等重要数学思想方法.不等式的证明是高中的热点问题，不等式的证明方法有，作差法，作商法，数学归纳法，分子有理化，平方转化，利用基本不等式，本文介绍有关数列不等式的证明，用导数证明函数的单调性，给X赋值代入题型一：利用不等式背景知识：，例1求证：证明：在不等式中令，，可得个不等式，相加可以得证。求证：，时，证明：，∴求证：证明，令，则有，变形为，4记，证明：不等式,,,令用代替中的中的：可得令取得，令，则，因此.又故题型二利用不等式：例：求证：令，当时，当时，，题型三利用不等式求证：证明：令，得，即所以上式中n=1，2，3，…，n，然后n个不等式相加得到求证：由得，即，令，，，，将上述各式相加得，题型四利用不等式求证：对任意正整数，证明：令，则在上恒正，所以函数在上单调递增，∴时，恒有即，∴对任意正整数n，取证明不等式（2007山东理22）设函数，其中．（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数，不等式都成立．解：（Ⅰ）由题意知，的定义域为，设，其图象的对称轴为，．当时，，即在上恒成立，当时，，当时，函数在定义域上单调递增．（Ⅱ）①由（Ⅰ）得，当时，函数无极值点．②时，有两个相同的解，时，，时，，时，函数在上无极值点．③当时，有两个不同解，，，时，，，即，．时，，随的变化情况如下表：极小值由此表可知：时，有惟一极小值点，当时，，，此时，，随的变化情况如下表：极大值极小值由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点；综上所述：时，有惟一最小值点；时，有一个极大值点和一个极小值点；时，无极值点．（Ⅲ）当时，函数，令函数，则．当时，，所以函数在上单调递增，又．时，恒有，即恒成立．故当时，有．对任意正整数取，则有．所以结论成立．证明不等式;（2012辽宁理）12.若，则下列不等式恒成立的是A．B．C．D．【解析】验证A，当，故排除A；验证B，当，，而，故排除B；验证C，令，显然恒成立所以当，，所以，为增函数，所以，恒成立，故选C；验证D，令，令，解得，所以当时，，显然不恒成立，故选C.通过渐近线转化设函数(常数)，在处取得极小值,(为自然对数的底数)（1）求在处的切线方程（2）对任意，求证大家很容易得到，在处的切线方程为下面看第二问题的不等式证明，我用构造函数法证不出来，又试着分开两个函数出不行，用不等式放缩也不行，正当我一筹莫展时，忽然想到第一问题的切线联系起来，如果左边的函数的图像在切线的上方，右边函数的图像在切线的下方，这样利用不等式的传递性就可以证明了，心里非常高兴，马上付诸行动。令,,递增,，递增,，故.再令,,,令则，故,,,,,综上可知设函数，其中.（1）若，求在的最小值；（2）如果在定义域内既有极大值又有极小值，求实数的取值范围；（3）是否存在最小的正整数，使得当时，不等式恒成立.解析：（1）由题意知，的定义域为，时，由，得（舍去），当时，，当时，，所以当时，单调递减；当时，单调递增，所以；（2）由题意在有两个不等实根，即在有两个不等实根，设，则，解之得；（3）对于函数，令函数，则，，所以函数在上单调递增，又时，恒有，即恒成立.取，则有恒成立.显然，存在最小的正整数N=1，使得当时，不等式恒成立.已知函数（其中为常数）.（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，设函数的3个极值点为，且.证明：.解:(Ⅰ)令可得.列表如下:--0+减减极小值增单调减区间为,;增区间为.(Ⅱ)由题，对于函数，有∴函数在上单调递减，在上单调递增∵函数有3个极值点，从而，所以，当时，，，∴函数的递增区间有和，递减区间有，，，此时，函数有3个极值点，且；∴当时，是函数的两个零点，即有，消去有令，有零点，且∴函数在上递减，在上递增要证明即证构造函数，=0只需要证明单调递减即可.而，在上单调递增,∴当时，.12.已知函数，，设.（1）若在处取得极值，且，求函数的单调区间；（2）若时函数有两个不同的零点①求的取值范围；②求证：.解析：（1）因为，所以,由可得a=b-3.又因为在处取得极值，所以，所以a=-2,b=1.所以，其定义域为（0，+）令得，当（0,1）时，，当（1,+），所以函数h（x）在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+）上单调减.（2）当时，，其定义域为（0，+）.①由得，记，则,所以在单调减，在单调增，所以当时取得最小值.又，所以时，而时,所以b的取值范围是（，0）.②由题意得,所以,所以，不妨