初三数学认真复习二次函数的性质.doc

用心爱心专心115号编辑认真复习二次函数的性质王岩求二次函数的解析式，利用二次函数的性质解题以及几何图形与二次函数相结合的综合问题历来都是中考中出现频率比较高的题目，同学们在中考复习时应关注此类问题．例已知一个二次函数的图象经过A（4，-3），B（2，1）和C（-l，-8）三点。（1）求这个二次函数的解析式以及它的图象与x轴的交点M、N（M在N的左边）的坐标；（2）若以线段MN为直径作⊙G，过坐标原点O作⊙G的切线OD，切点为D，求OD的长；（3）求直线OD的解析式；（4）在直线OD上是否存在点P，使得△MNP是直角三角形？如果存在，求出点P的坐标（只需写出结果，不必写出解答过程）；如果不存在，请说明理由．分析已知抛物线上的三个点求出过A、B、C三点的抛物线解析式，进而求出抛物线与x轴两个交点M、N的坐标都不困难，根据切割线定理OD2=OM·ON，也可求出切线长，在Rt△DEO中，利用OD长，∠DOE的大小再求D点坐标。考虑△MNP为直角三角形时，要分别研究∠PMN、∠PNM、∠MPN为直角的各种情况。解（1）设所求的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c.∵抛物线经过A（4，-3），B（2，1）和C（-1，-8）三点，解得∴抛物线解析式为y=-x2+4x-3．令y=0，得-x2+4x-3=0，解得x1=1，x2=3．∴抛物线与x轴的交点坐标为M（1，0），N（3，0）．（2）过原点O作⊙G的切线，切点为D，易知OM=1，ON=3．由切割线定理，得DD2=OM·ON=1×3．∴OD=，即所求的切线长为。（3）连接DG，则∠ODG=90°，DG=1，∵OG=2，∴∠DOG=30°．过D作DE⊥OG，垂足为E，则∴点D的坐标为从而直线OD的解析式为.（4）在直线OD上存在点P，使△MNP是直角三角形，所求P点的坐标为（1，），或（3，），或（）。以下两题供练习：1、已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）（x1<x2），顶点M的纵坐标为-4，若x1、x2是方程x2-2（m-1）x+m2-7=0的两个根，且（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式及C点的坐标；（3）在抛物线上是否存在点P，使三角形PAB的面积等于四边形ACMB面积的2倍？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．2、已知：二次函数y=x2-2（m-1）x-1-m的图象与x轴交于A（x1，0）、（x2，0），x1<0<x2，与y轴交于点C，且满足。（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在着直线y=kx+b与抛物线交于点P、Q，使y轴平分△CPQ的面积？若存在，求出k、b应满足的条件；若不存在，请说明理由．练习答案1、（1）A（-1，0），B（3，0）（2）y=x2-2x-3，C（0，-3）（3）设抛物线的对称轴与x轴交于点D，则AO=OD=1，DB=2，OC=3，DM=4，AB=4，把y0=9代入y=x2-2x-3中，得x2-2x-3=9，x1=1-，x2=1+。把y0=-9代入y=x2-2x-3中，得x2-2x-3=-9，Δ=-20<0，∴此方程无实根．∴符合条件的点P有两个：P1（1-，9），P2（1+，9）．2、（1）x1<0<x2，∴AO=-x1,OB=x2。又a=1>0，∴CO=m+1>0,∴m>-1．，∴CO（OB-AO）=2AO·OB．即（m+1）（x1+x2）=-2x1x2．∵x1+x2=2(m-1),x1x2=-(1+m)，∴（m+1）·2（m-1）=2（1+m），解得m=-1（舍去），m=2．∴二次函数的解析式为y=x2-2x-3．（2）存在着直线y=kx+b与抛物线交于点P、Q，使y轴平分△CPQ的面积．设点P的横坐标为xp，点Q的横坐标为xQ，直线与y轴交于点E.∴|xp|=|xQ|.∵y轴平分△CPQ的面积，∴点P、Q在y轴异侧，即xp=-xQ.由得x2-(k+2)x-(b+3)=0①xp、xQ为①的两根，∴xp+xQ=k+2=0,∴k=-2.又∵直线与抛物线有两个交点，∴b+3>0，即b>-3．∴当k=-2，且b>-3时，直线y=kx+b与抛物线交于点P、Q，使y轴平分△CPQ的面积．