初三数学圆和圆的位置关系首师大版知识精讲.doc

用心爱心专心初三数学圆和圆的位置关系首师大版【同步教育信息】一.本周教学内容：圆和圆的位置关系掌握与两圆位置关系有关的解题方法。由于两圆的位置关系所涉及的知识中，直接可利用的知识太少，因此也就形成了独特的解题方法，即把两个圆的问题转化为一个圆的方法。这就要求我们能够依据不同的位置关系，形成不同的转化方法。［知识要点］1.圆与圆的位置关系及相关的数量关系（1）外离：圆心距大于两圆半径之和，即d＞R＋r，内公切线2条，外公切线2条。（2）外切：d＝R＋r，内公切线1条，外公切线2条。（3）相交：R－r＜d＜R＋r（R≥r），内公切线0条，外公切线2条。（4）内切：d＝R－r（R＞r），内公切线0条，外公切线1条。（5）内含：d＜R－r（R＞r），内公切线0条，外公切线0条。2.连心线是指通过两圆圆心的一条直线，圆心距是指连心线上两圆心之间线段的长度。3.若两圆相切（内、外切），则切点一定在连心线上。4.相交两圆的连心线，垂直平分公共弦。5.两圆若有两条外公切线，或内公切线，则这两条外公切线或内公切线的长相等，且两条公切线的交点在连心线上。6.若两圆相外切，则它们的连心线与内公切线互相垂直。二.重点、难点：1.重点是两圆的位置关系与圆心距及两圆的半径的数量关系，还有两圆的公切线。2.难点是上述知识的灵活运用。注意：这部分知识中解题需做辅助线时，一般有如下规律：一是遇到两圆相交时做公共弦，二是遇到两圆相切时做公切线。【典型例题】例1.如图1所示，半径为R的⊙O与半径为r的⊙O1外切于点P（P＞r），直线AB为两圆的外公切线，切点为A、B。求证：AB是两圆直径的比例中项证明：如图，连结OO1、OA、O1B，作O1C⊥OA于C∵AB为⊙O与⊙O1的公切线∴OA⊥AB，O1B⊥AB又∵O1C⊥OA，∴四边形ABO1C为矩形∵2R为⊙O直径，2r为⊙O1直径，且O1C＝AB∴AB为两圆直径的比例中项例2.已知⊙O1与⊙O2相交于B、C两点，A是⊙O1上一点，AF切⊙O1于点A，延长AB、AC交⊙O2于D、E两点。求证：AF//DE分析：两圆相交一般先作出公共弦，通过公共弦就能把两个圆联系起来，要证AF//DE，就要找相等的角，即∠FAD＝∠ADE，通过弦切角和圆内接四边形的性质，借助于∠ACB为过渡的角就能推出∠FAD＝∠ADE。证明：连结BC，∵AF为⊙O1的切线，∴∠FAD＝∠ACB∵四边形BCED为⊙O2的内接四边形，∴∠ACB＝∠D∴∠FAD＝∠D∴AF∥DE例3.如图3，⊙O与⊙O'外离，AB、CD是内公切线，OO'是圆心距，若⊙O半径为4，⊙O'半径为6，OO'＝20，求两条内公切线所夹锐角及内公切线的长。解：连结OA、O'B，且过O点作OE⊥O'B交延长线于E点∵AB是内公切线，∴OA⊥AB，O'B⊥AB∴四边形AOEB是矩形小结：此题涉及到矩形、勾股定理等知识，还有内公切线长相等的概念。例4.如图4，⊙O与⊙O'内切于P，⊙O的弦AB切⊙O'于C。求证：PC平分∠APB证明：过P点作两圆的公切线MN例5.如图5，⊙O与⊙O'交于A、B点，AC是⊙O的直径，连结CB并延长交⊙O'于E。若AC＝12，BE＝30，BC＝AD。求DE的长及∠C的度数。分析：此题涉及到相交两圆的概念、相似三角形、勾股定理等知识；因为求解是数量问题，需借助相关的知识转化为方程，提供转化的工具是相似比和勾股定理。解：连结AB∵A、B、E、D四点共圆，∴∠ABC＝∠D［知识小结］当我们研究的命题涉及到两个相交圆的角的关系时，为了沟通关系往往需要添加公共弦。当两圆相切时，研究的问题与角相关，往往需要构造弦切角，添加过切点的切线。如果求解的是数量问题，需要借助相关的知识转化为方程，提供转化工具的可以是相似比及勾股定理、射影定理等。［开阔思路］在模拟测试二中，解答题的第4小题还有两种证明方法：证法一：连结OF交⊙C于N，连结OE∵⊙C与⊙O内切于F，∴O、C、F共线∴FN＝2CD∵⊙C切AB于D，∴CD⊥AB∴OD2＝ON·OF证法二：连结OF，∵⊙C与⊙O相切，∴O、C、F共线∵⊙C切AB于D，∴CD⊥AB【模拟试题】［试题一］一.选择题（每题6分，共30分）1.相内含的两圆的圆心距为2cm，可作两圆半径的是（）A.4cm和1cmB.5cm和3cmC.6cm和5cmD.4cm和2cm2.已知⊙O1和⊙O2外切于M，AB是⊙O1和⊙O2的外公切线，A、B为切点，若，则M到AB的距离是（）A.B.C.D.3.半径都是R的⊙O1和⊙O2的圆心距，则半径为2R，且与⊙O1和⊙O2都相切的圆共有（）A.5个B.4个C.3个D.2个4.下列说法正确的是（）A.过相外切两圆切点的直线是内公切线B.过内切两圆切点的直线是外公切线C.两圆相交时有两条外公切线D.两圆