初三数学圆和圆的位置关系首师大版知识精讲.doc

用心爱心专心初三数学圆和圆的位置关系首师大版【同步教育信息】一.本周教学内容：圆和圆的位置关系掌握与两圆位置关系有关的解题方法。由于两圆的位置关系所涉及的知识中直接可利用的知识太少因此也就形成了独特的解题方法即把两个圆的问题转化为一个圆的方法。这就要求我们能够依据不同的位置关系形成不同的转化方法。［知识要点］1.圆与圆的位置关系及相关的数量关系（1）外离：圆心距大于两圆半径之和即d＞R＋r内公切线2条外公切线2条。（2）外切：d＝R＋r内公切线1条外公切线2条。（3）相交：R－r＜d＜R＋r（R≥r）内公切线0条外公切线2条。（4）内切：d＝R－r（R＞r）内公切线0条外公切线1条。（5）内含：d＜R－r（R＞r）内公切线0条外公切线0条。2.连心线是指通过两圆圆心的一条直线圆心距是指连心线上两圆心之间线段的长度。3.若两圆相切（内、外切）则切点一定在连心线上。4.相交两圆的连心线垂直平分公共弦。5.两圆若有两条外公切线或内公切线则这两条外公切线或内公切线的长相等且两条公切线的交点在连心线上。6.若两圆相外切则它们的连心线与内公切线互相垂直。二.重点、难点：1.重点是两圆的位置关系与圆心距及两圆的半径的数量关系还有两圆的公切线。2.难点是上述知识的灵活运用。注意：这部分知识中解题需做辅助线时一般有如下规律：一是遇到两圆相交时做公共弦二是遇到两圆相切时做公切线。【典型例题】例1.如图1所示半径为R的⊙O与半径为r的⊙O1外切于点P（P＞r）直线AB为两圆的外公切线切点为A、B。求证：AB是两圆直径的比例中项证明：如图连结OO1、OA、O1B作O1C⊥OA于C∵AB为⊙O与⊙O1的公切线∴OA⊥ABO1B⊥AB又∵O1C⊥OA∴四边形ABO1C为矩形∵2R为⊙O直径2r为⊙O1直径且O1C＝AB∴AB为两圆直径的比例中项例2.已知⊙O1与⊙O2相交于B、C两点A是⊙O1上一点AF切⊙O1于点A延长AB、AC交⊙O2于D、E两点。求证：AF//DE分析：两圆相交一般先作出公共弦通过公共弦就能把两个圆联系起来要证AF//DE就要找相等的角即∠FAD＝∠ADE通过弦切角和圆内接四边形的性质借助于∠ACB为过渡的角就能推出∠FAD＝∠ADE。证明：连结BC∵AF为⊙O1的切线∴∠FAD＝∠ACB∵四边形BCED为⊙O2的内接四边形∴∠ACB＝∠D∴∠FAD＝∠D∴AF∥DE例3.如图3⊙O与⊙O'外离AB、CD是内公切线OO'是圆心距若⊙O半径为4⊙O'半径为6OO'＝20求两条内公切线所夹锐角及内公切线的长。解：连结OA、O'B且过O点作OE⊥O'B交延长线于E点∵AB是内公切线∴OA⊥ABO'B⊥AB∴四边形AOEB是矩形小结：此题涉及到矩形、勾股定理等知识还有内公切线长相等的概念。例4.如图4⊙O与⊙O'内切于P⊙O的弦AB切⊙O'于C。求证：PC平分∠APB证明：过P点作两圆的公切线MN例5.如图5⊙O与⊙O'交于A、B点AC是⊙O的直径连结CB并延长交⊙O'于E。若AC＝12BE＝30BC＝AD。求DE的长及∠C的度数。分析：此题涉及到相交两圆的概念、相似三角形、勾股定理等知识；因为求解是数量问题需借助相关的知识转化为方程提供转化的工具是相似比和勾股定理。解：连结AB∵A、B、E、D四点共圆∴∠ABC＝∠D［知识小结］当我们研究的命题涉及到两个相交圆的角的关系时为了沟通关系往往需要添加公共弦。当两圆相切时研究的问题与角相关往往需要构造弦切角添加过切点的切线。如果求解的是数量问题需要借助相关的知识转化为方程提供转化工具的可以是相似比及勾股定理、射影定理等。［开阔思路］在模拟测试二中解答题的第4小题还有两种证明方法：证法一：连结OF交⊙C于N连结OE∵⊙C与⊙O内切于F∴O、C、F共线∴FN＝2CD∵⊙C切AB于D∴CD⊥AB∴OD2＝ON·OF证法二：连结OF∵⊙C与⊙O相切∴O、C、F共线∵⊙C切