2013届中考数学押轴题备考复习 开放型问题.doc

开放型问题1.（2011湖北荆州，19，7分）（本题满分7分）如图，P是矩形ABCD下方一点，将绕P点顺时针旋转后恰好D点与A点重合，得到,连接EB，问是什么特殊三角形？请说明理由.【解题思路】根据旋转及矩形的性质可知AE＝CD＝AB，可得等腰，进一步由旋转角是，猜想此三角形可能是等边三角形.【答案】解：△ABE是等边三角形.理由如下：……………………1分由旋转得△PAE≌△PDC∴CD=AE，PD=PA,∠1=∠2………………………………3分∵∠DPA=60°∴△PDA是等边三角形………………………………4分∴∠3＝∠PAD＝60°.由矩形ABCD知，CD＝AB，∠CDA＝∠DAB＝90°.∴∠1＝∠4＝∠2＝30°………………………………6分∴AE＝CD＝AB，∠EAB＝∠2+∠4＝60°,∴△ABE为等边三角形………………………………7分【点评】此类试题是猜想与证明两部分组成，解答时，首先是猜想结论，即同学们根据自己学过的知识经过严格合理地推理，得出一个正确的判断；然后证明，就是根据题目的要求，把从题设到推出某个结论的过程完整地叙述出来.2.（2011湖北襄阳，25，10分）如图9，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PO并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF．（1）求证：∠ADP＝∠EPB；（2）求∠CBE的度数；（3）当的值等于多少时，△PFD～△BFP？并说明理由．【解题思路】解决（1）（2）两问，由旋转发现∠DPE＝90°，DP＝PE，进而构造全等三角形是关键；（3）可由△PFD～△BFP产生比例线段，再结合△ADP～△BPF思考．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠PBC＝90°，AB＝AD，∴∠ADP+∠APD＝90°．∵∠DPE＝90°，∴∠APD+∠EPB＝90°，∴∠ADP＝∠EPB．（2）如下图，过E点作EG⊥AB的延长线于点G，则∠EGP＝∠A＝90°．又∵∠ADP＝∠EPB，PD＝PE，∴△PAD≌△EGP．∴EG＝AP，AD＝AB＝PG．∴AP＝EG＝BG．∴∠CBE＝∠EBG＝45°．（3）法1：当＝时，△PFD～△BFP．∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF，∴△ADP～△BPF．设AD＝AB＝a，则AP＝PB＝a，∴BF＝BP×＝a．∴PD＝＝a，PF＝＝a．∴＝＝．又∵∠DPF＝∠PBF＝90°，∴△PFD～△BFP．法2：假设△PFD～△BFP，则＝．∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF，∴△ADP～△BPF．∴＝．∴＝．∴PB＝AP．∴＝时，△PFD～△BFP．【点评】本题属于直线形几何综合问题，主要考查了正方形，全等三角形，相似三角形，勾股定理等知识．（1）问简单基础，学生普遍会做；（2）问由E点作AB的垂线是较为简捷的思路；（3）是条件开放探究性问题，解决时需要“执果索因”，从后向前思考．难度较大．25．（2011四川乐山，25，12分）如图（14.1）,在直角△ABC中,∠ACB=90,CD⊥AB,垂足为D,点E在AC上,BE交CD于点G,EF⊥BE交AB于点F,若AC=mBC,CE=nEA(m,n为实数).试探究线段EF与EG的数量关系.如图(14.2),当m=1,n=1时,EF与EG的数量关系是证明:如图(14.3),当m=1,n为任意实数时,EF与EG的数量关系是证明如图(14.1),当m,n均为任意实数时,EF与EG的数量关系是(写出关系式,不必证明)【解题思路】：添加辅助线，构建新的直角三角形，推理证明三角形相似，利用相似关系，列比例式推出EF与EG的数量关系。【答案】(1)相等。如,14.2，当m=1,n=1时,△ACB是等腰直角三角形，E为AC中点，作EM⊥AB,EN⊥CD,垂足分别为M、N，EM、EN为中位线，∴△EFM≌△ENG,∴EF=EG.（2）EF:EG=1：n。作EM⊥AB,EN⊥CD,垂足分别为M、N，m=1,△ACB是等腰直角三角形，△EFM∽△ENG,∴EF:EG=EM:EN=AE:EC,∴EF:EG=AE:nAE=1:n.【点评】本题是属于图形演变、规律探索性题目，找准基础图形，作出辅助线，确定三角形全等或相似关系，列出关系式，是解题的关键。本题难度较大。24．（2011湖北随州，24，14分）如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx＋b与抛物线交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＜0）．⑴求b的值．⑵求x1•x2的值⑶分别过M、N作直线l：y=－1的垂线，垂足分别是M1、N1，判断△M1FN1的形状，并证明你的结论．⑷对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请法度出这条