初三数学圆和圆的位置关系知识精讲.doc

用心爱心专心初三数学圆和圆的位置关系知识精讲圆和圆的位置关系1.基本概念（1）两圆外离、外切、相交、内切、内含的定义；（2）两圆的公切线、外公切线、内公切线、公切线长的定义；（3）两圆的连心线、圆心距、公共弦。2.圆和圆的位置关系两圆的位置圆心距d与两圆的半径R、r的关系外公切线条数内公切线条数公切线条数外离224外切213相交202内切101内含000说明：（1）两圆的位置关系和半径，圆心距的数量关系是互相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系，知道数量关系也可以确定位置关系；（2）如果遇到“相离”或“相切”问题时，都要分两种情况来解决。3.相交两圆的性质相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。4.相切两圆的性质如果两圆相切，那么切点一定在连心线上。5.两圆中常引用的辅助线（1）相切：过切点引公切线，引连心线。（2）相交：引连心线、公共弦（将两圆半径、圆心距、公共弦的一半集中在一个三角形中）（3）遇两条内公切线或外公切线：引过切点的半径，构造直角三角形（将半径、圆心距、公切线长集中在一个直角三角形中），如图例：（1997哈尔滨）如图，已知：两圆内切于点A，P是两圆公切线上的一点过P作小圆的割线PBC，连结AB、AC，并延长分别交大圆于D、E，求证：。证明：连结DEPA是两圆的公切线，PA是⊙的切线，PBC是⊙的割线又即说明：相切两圆中公切线是联系两圆中角的最有利条件，利用两圆的公切线，构造两圆的弦切角来进行角的转化。例：（2002河南省）已知：如图，内接于⊙，，⊙与BC相切于点B，与AB相交于点E，与⊙相交于点D，直线AD交⊙于点F，交CB的延长线于点G，求证：（1）（2）证明：（1）连结BD又（2）连结BF即说明：通过相交两圆的公共弦的引用，完成了一个圆上的圆周角到另一个圆上的圆周角的过渡，为确定两线段平行创造了条件。例1.已知：⊙与⊙外切，⊙的半径R＝2，设⊙的半径是r，如果⊙、⊙的公切线中有两条互相垂直，并且，求r的值。分析：若⊙与⊙的公切线中有两条互相垂直，则它们的两条外公切线互相垂直或一条外公切线与一条内切线互相垂直。解：（1）当两圆的一条外公切线与一条内切线互相垂直时，如图1⊙与⊙外切于点C，直线m、n是两圆的公切线，且，m、n交于点O，外公切线n分切⊙，⊙于点A、B连结，则，，，过点C四边形，四边形都是正方形（2）当两圆的外公切线m，n互相垂直时，如图2两条外公切线的交点为O，⊙与⊙外切于点D⊙、⊙分别与它们的外公切线相切于AE、B、F分别连结点分别在的平分线上，四边形是正方形，同理，即综上，或例2.如图，⊙与⊙内切于点P，⊙的弦AB切⊙于点C，连结PA、PB、PC的延长线交⊙于点D，求证：（1）（2）证明：（1）过点P作两圆外公切线PM，则AB切⊙于点C又是的外角即（2）连结BD由（1）知又即由相交弦定理得说明：相切两圆的公切线是一条非常重要的辅助线，利用它构造了两圆中公共的弦切角，使两圆的圆周角建立起相等的关系，为求证结论中的两个相等角创造了有利的条件。例3.如图，过半圆O上的一点C作直径AB的垂线，垂足为D，⊙切AB于E，切CD于F，内切半圆于G，求证：AC＝AE。分析：利用两圆内切及AE在直径上，用代数方法给以证明。证明：连结BC设⊙O半径为R，⊙半径为r⊙O与⊙内切，AB是⊙O的直径，又于是易证四边形是正方形，例4.已知⊙O与⊙外切于点A，由⊙O上任意一点P作⊙的切线，切点为B，求证：PA:PB为定值。分析：由已知可先对结论作一判断，当P在直线上，则下面从一般位置加以证明即可。证明：设R、r分别为⊙O和⊙的半径，若P在直线O上，易得当P点不在直线上时，延长PA交⊙于C，则连结为定值1.两圆半径分别为4和2，如果它们有两条互相垂直的公切线，求这两圆的圆心距。2.如图所示两圆内切于P点，大圆的弦AB切小圆于Q，连结AP，BP交小圆于C、D，连结PQ交CD于H，求证：（1）；（2）。3.如图，⊙M与⊙O相交于A、B两点，点M在⊙O上，⊙O的弦MC分别与弦AB交于D，与⊙M交于E，求证：（1）；（2）E是的内心。4.如图，已知在⊙O上，⊙O与⊙交于A、B两点，过A作直线CD交⊙O于C，交⊙于D，CB交⊙于E，AB与交于F，求证：。5.如图，A是线段EF上一点，分别以EA和FA为直径作⊙和⊙，BC是外公切线，切点为B、C，连结EB、FC并延长交于点D，求证：（1）（2）6.如图，两圆同心，大圆的弦AD交小圆于B、C两点，AE切小圆于E，连结CE，直线BE交大圆于M、N，已知。（1）求证：CD、CE的长是方程的两个根；（2）求BM的长。参考答案HYPERLINK"http://www.dearedu.com"http://www.dearedu.com1.当两条内公切线互相垂直，如图1图1易证