2012年全国中考数学压轴题分类解析汇编 专题10 代数综合问题.doc

2012年全国中考数学压轴题分类解析汇编专题10：代数综合问题锦元数学工作室编辑1.（2012广东佛山10分）规律是数学研究的重要内容之一．初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号(数)及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面．请你解决以下与数的表示和运算相关的问题：(1)写出奇数a用整数n表示的式子；(2)写出有理数b用整数m和整数n表示的式子；(3)函数的研究中，应关注y随x变化而变化的数值规律(课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律)．下面对函数y=x2的某种数值变化规律进行初步研究：xi012345...yi01491625...yi+1－yi1357911...由表看出，当x的取值从0开始每增加1个单位时，y的值依次增加1，3，5...请回答：当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？【答案】解：（1）n是任意整数，则表示任意一个奇数的式子是：2n+1。（2）有理数b=（n≠0）。（3）①当x的取值从0开始每增加个单位时，列表如下：xi012...yi014...yi+1－yi...故当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值依次增加、、…。②当x的取值从0开始每增加个单位时，列表如下：xi0...yi0...yi+1－yi...故当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值依次增加、、…。【考点】分类归纳（数字的变化类），二次函数的性质，实数。【分析】（1）n是任意整数，偶数是能被2整除的数，则偶数可以表示为2n，因为偶数与奇数相差1，所以奇数可以表示为2n+1。（2）根据有理数是整数与分数的统称，而所有的整数都可以写成整数的形式，据此可以得到答案。（3）根据图表计算出相应的数值后即可看出y随着x的变化而变化的规律。2.（2012广东梅州10分）（1）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2﹣4q≥0）的两根为x1、x2；求证：x1+x2=﹣p，x1•x2=q．（2）已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（﹣1，﹣1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值，并求出最小值．【答案】（1）证明：∵a=1，b=p，c=q，p2﹣4q≥0，∴。（2）解：把（﹣1，﹣1）代入y=x2+px+q得p﹣q=2，即q=p﹣2。设抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x1，0）、（x2，0）。∵d=|x1﹣x2|，∴d2=（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1•x2=p2﹣4q=p2﹣4p+8=（p﹣2）2+4。∴当p=2时，d2的最小值是4。【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，抛物线与x轴的交点，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可直接证得。【教材中没有元二次方程根与系数的关系可先根据求根公式得出x1、x2的值，再求出两根的和与积即可】（2）把点（﹣1，﹣1）代入抛物线的解析式，再由d=|x1﹣x2|可得d2关于p的函数关系式，应用二次函数的最值原理即可得出结论。3.（2012广东湛江12分）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：解一元二次不等式x2﹣4＞0解：∵x2﹣4=（x+2）（x﹣2）∴x2﹣4＞0可化为（x+2）（x﹣2）＞0由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得解不等式组①，得x＞2，解不等式组②，得x＜﹣2，∴（x+2）（x﹣2）＞0的解集为x＞2或x＜﹣2，即一元二次不等式x2﹣4＞0的解集为x＞2或x＜﹣2．（1）一元二次不等式x2﹣16＞0的解集为；（2）分式不等式的解集为；（3）解一元二次不等式2x2﹣3x＜0．【答案】解：（1）x＞4或x＜﹣4。（2）x＞3或x＜1。（3）∵2x2﹣3x=x（2x﹣3）∴2x2﹣3x＜0可化为x（2x﹣3）＜0由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得或。解不等式组①，得0＜x＜，解不等式组②，无解。∴不等式2x2﹣3x＜0的解集为0＜x＜。【考点】有理数的乘法法则，一元一次不等式组的应用。【分析】（1）将一元二次不等式的左边因式分解后根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”化为两个一元一次不等式组求解即可。（2）根据有理数的除法法则“两数相除，同号得正”，可以得到其分子、分母同号，从而转化为两个一元一次不等式组求解即可。（3）将一元二次不等式的左边因式分解后，有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，化为两个一元一次不等式组求解即可。4.（2012贵州黔西南14分）问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍。解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以把代入已知方程，得化简，得：故所求方程为这种利用方程根的代换求新方程的方法