谈谈函数与方程的思想方法 专题辅导 不分版本 试题.doc

谈谈函数与方程的思想方法丁勇函数与方程的思想是指在解决某些数学问题时构造适当的函数与方程把问题转化为研究辅助函数与辅助方程性质的思想。下面就结合2005年的高考试题说明如何运用函数与方程的思想方法去分析和解决问题。例1.设不等式对满足的一切实数m恒成立求实数x的取值范围。解析：此问题由于常见的思维定势易把它看成关于x的不等式进行分类讨论。然而若变换一个角度以m为主元记则问题转化为求一次函数（或常数函数）的值在区间[－22]内恒负时参数x应该满足的条件。要使只要使即从而解得。评注：本例采用变更主元法化繁为简再巧用函数图象的特征（一条线段）解法易懂易做。如何从一个含有多个变元的数学问题里选定合适的主变元从而揭示其中主要的函数关系有时便成了数学问题能否“明朗化”的关键所在。例2.设且求a＋b的值。解析：由已知两式结构的相似性联想到相应函数令则是奇函数且是增函数。这样已知是得则有从而所以。评注：本例由已知式构造函数再巧用奇偶性和单调性解法奇妙。选取变元构造函数关系来解决数学问题这是运用函数思想解题的较高层次只有平时多加训练并注意积累才能做到运用自如。例3.设其中如果当时f(x)有意义求a的取值范围。解析：二次函数及图象、二次不等式、二次方程三者是紧密联系的许多问题都可以利用它们来解决只要进行合理的转化就可以了。可知即当时恒成立。而都是减函数则在上是增函数。故当x＝1时g(x)取得最大值是从而得a的取值范围是。评注：本例采用分离参数法再构造函数使不等式恒成立问题转化为函数的最值问题方向明确解法简捷。在数学各分支中若遇到有关不等式、方程及最值之类的问题利用函数观点加以分析常可使问题变得明了从而易于找到一种适当的解题途径。这充分体现了方程思想和函数思想的实用性和重要性。例4.如果函数的最大值是4最小值是－1求实数a、b的值。解析：由y的最大值是4知存在实数x使＝4即方程有实根故有又由y的最大值是4知对任意实数x恒有即恒成立故从而有同样由y的最小值是－1可得由可解得。评注：本例解法中对题设中给出的最值一方面认为是方程的实数解另一方面又认为是不等式的恒成立条件。由于对题设条件的理解深刻所以构思新颖证法严谨。例5.△ABC的三边abc满足b＝8－c试确定△ABC的形状。解析：因为b＋c＝8所以bc是方程的两实根即所以a＝6。从而得b＝c＝4因此△ABC是等腰三角形。评注：构建一元二次方程的模型解决数学问题是一种行之有效的手段其独特功能在于充分运用构建的一元二次方程及根的判别式和求根公式变更命题从而使问题获得圆满解决。例6.设函数其中。（1）若f(x)在x＝3处取得极值求常数a的值；（2）若f(x)在上为增函数求a的取值范围。解析：（1）因f(x)在x＝3时取得极值所以解得a＝3经检验知当a＝3时x＝3为f(x)的极值点。（2）令＝0得当a＜1时若则（x）＞0所以f(x)在（）和（1＋）上为增函数故当时在（0）上为增函数。当时若则所以在（－1）和（a＋）上为增函数从而f(x)在（－0]上也为增函数。综上所述当时f(x)在（－0）上为增函数。评注：三次函数在求导之后导函数成为二次函数而二次函数、二次不等式、二次方程三者之间是相互依存的利用它们可以将问题进行转化使二次方程的解与函数的极值相关二次不等式的解与函数的单调性相关。总之函数与方程涉及的知识点多、面广函数与方程的思想方法是中学数学中十分重要的一种思想和方法也是高考中考查的重点。因此我们要重视和学会运用这一方法去分析问题、转化问题和解决问题强化函数与方程的思想方法的应用意识和基本训练以适应高考新的变化和要求。