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晋中学院XX学院20XX届本科生毕业论文浅谈数学归纳法及其应用学生姓名:XXX（XXX班）指导老师:XXX摘要:数学归纳法是数学中最基本也是最重要的证明方法之一,在数学各个分支里都有广泛应用,利用数学归纳法可以解决比较复杂的问题.本文从数学归纳法的整体结构出发,对数学归纳法的思想渊源、基本原理及常见形式进行了分析总结,介绍了数学归纳法在初等数学、高等数学、离散数学、概率论、图论等学科中的应用.关键词:数学归纳法;渊源;原理;表现形式;理论基础及其证明;应用晋中学院XX学院20XX届本科生毕业论文OntheMathematicalInductionanditsApplicationStudent:XXXInstructor:XXXAbstract:Mathematicalinductionisonewayofthemostbasicandimportantmathematicalproof,andhasawideapplicationinseveralmathematics.Usingthemathematicalinductioncansolvethecomplicatedproblem.Thispaperbeginsfromtheoverallstructureofmathematicalinduction.Thenmathematicalinductiononideologicalorigin,basictheoryandcommonformsareanalyzedandsummarized.Itisintroducedbytheapplicationofmathematicalinductioninbasicmathematics,discretemathematics,probabilitytheory,graphtheoryandothersubjects.Keywords:Mathematicalinduction;Origin;Theory;Manifestations;Theoreticalfoundationanditsproof;Application晋中学院XX学院20XX届本科生毕业论文目录1数学归纳法的思想渊源……………………………………………12数学归纳法的原理…………………………………………………23数学归纳法…………………………………………………………33.1数学归纳法的具体表现形式………………………………………33.2两种归纳法之间的关系……………………………………………44数学归纳法的理论基础及其证明…………………………………44.1第一数学归纳法的理论基础及其证明……………………………44.2第二数学归纳法的理论基础及其证明……………………………55数学归纳法在各门学科中的简单应用……………………………65.1数学归纳法在初等数学中的应用…………………………………65.2数学归纳法在高等代数中的应用…………………………………85.3数学归纳法在离散数学方面的应用……………………………115.4数学归纳法在高等数学中的应用………………………………125.5数学归纳法在图论中的应用……………………………………145.6数学归纳法在概率论方面的应用………………………………146结束语…………………………………………………………………15参考文献………………………………………………………………16晋中学院XX学院20XX届本科生毕业论文1数学归纳法思想的渊源追根溯源数学归纳法可以在印度和古希腊时代的著作中找到丝缕痕迹,例如,印度婆什迦罗（Bashkiria1114～约1185）的“循环方法”和欧几里得素数无限的证明中都可以找到这种踪迹.欧几里得《几何原本》第九卷命题20为:质数比任何指定数目都要多（注:质数也称为素数）,即:素数无穷.欧几里得对这个命题的证法是经典的.他假定素数是有限的,不妨设这有限的n个素数为p1,p2,,pn.然后作自然数p1,p2,,pn1并证明还存在新的素数,从而得到矛盾.因为若所作的数是素数,则它比全部给出的n个素数都要大,因此是一个新的素数,这与假设有n个素数矛盾;又若它不是素数,它必能被一素数整除,但它被已知全部的n个素数p1,p2,,pn.除都有余数1,故整除p1,p2,,pn1的素数必定是这n个素数以外的新的素数,从而又与假设有n个素数的条件矛盾.欧几里得素数无穷命题即是说,素数的个数与自然数的个数一样多.上述证明可以这样“翻译”,首先,至少有一个素数存在,因为2就是素数,这一点在欧几里得的证明中没有指明;此外,上面欧几里得的证明表明,假如有n个素数,那么就必定有n1个素数存在.也就是按现代数学归纳法的要求,证明了从n到n1的递推关系,即完成了数学