初中数学竞赛辅导资料(54)整数解.doc

初中数学竞赛辅导资料（54）
整数解
内容提要
1.求方程或不等式的整数解，就是求适合等式或不等式的未知数的整数值，包括判断无整数解.
求整数解常用的性质、法则：
①.数的运.算性质：
整数＋整数＝整数，整数－整数＝整数，
整数×整数＝整数，整数的自然数次幂＝整数,
整数÷（这个整数的约数）＝整数.
②.整系数的方程ax2+bx+c=0(a≠0)只有当b2－4ac是完全平方数时，才有整数根.有时用韦达定理x1+x2与x1x1都是整数，来确定整数解，但必须检验（因为它们只是整数解必要条件）.
③.运用二元一次方程求整数解（见第10讲）.
④.用列举法.
3.判定方程或不等式没有整数解，常用反证法.即设有整数解之后，把整数按某一模m分类，逐一推出矛盾.
例题
例1.求下列方程的正整数解：
①xy+x+y=5；②x2+y2＝1991.
解：①先写成关于x的方程，
（y+1）x=5－y.
x=.
当y+1取6的约数±1,±2,±3,±6时，x的值是整数.
∵－1＋＞0，且x>0,y>0,
∴1<y+1<6.∴y=1或y=2.
∴原方程有正整数解；或.
又解：把左边写成积的形式：
x(y+1)+y+1=5+1,(y+1)(x+1)=6.
∵6＝1×6＝2×3，而正整数y+1>1,x+1>1.
∴或
解得；或.
②要等式成立，x,y必须是一奇一偶，设x=2a,y=2b－1(a,b都是正整数).
左边x2+y2＝（2a）2+(2b－1)2=4(a2+a+b2－b)+1.
∴a,b不论取什么整数值，左边的数都是除以4余1，而右边1991是除以4余3.
∴等式永远不能成立.
∴原方程没有正整数解.
例2.一个正整数加上38或129都是完全平方数，求这个正整数.若把正整数改为整数呢？
解：设这个正整数为x，根据题意，得
(a,b都是正整数).
(2)－(1)：b2－a2=91.
(b+a)(b－a)=91，
∵91=1×91=7×13且b+a>b－a.
∴或
解得，；或.
由方程(1)知a>,由方程(2)知b>.
∴只有适合.
∴x=a2－38=1987.答(略).
如果改为整数，则两组的解都适合.另一个解是：x=a2－38=9－38=－29.
例3.一个自然数与3的和是5的倍数，与3的差是6的倍数，则这个自然数的最小值
是多少？(1989年泉州市初二数学双基赛题)
解法一：用列举法
与3的和是5的倍数的自然数有：2，7，12，17，22，27，…
与3的差是6的倍数的自然数有：3，9，15，22，27，…
∴符合条件的最小自然数是27.
解法二：设所求自然数为x,
那么(a,b都是自然数).
∴x=5a－3=6b+3,
∴a=,
∵a,b都是自然数，
∴b+1是5的倍数，其最小值是b=4.
∴x=6b+3=27.

例4.m取什么整数值时，方程mx2+(m2－2)x－(m+2)=0有整数解？
解：设方程两个整数根为x1,x2.那么它们的和、积都是整数.
根据韦达定理：

∵x1和x2都是整数，
∴m是2的约数，即m=±1，±2.
∵这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要代入检验.
当m=1时，原方程为x2－x－3=0,没有整数解；
当m=－1时，原方程为－x2－x－1=0,没有实数根；
当m=2或m=－2时，方程有整数解.
答：当m=2或m=－2时，方程mx2+(m2－2)x－(m+2)=0有整数解.
例5.已知：n是正整数，且9n2+5n+26的值是两个相邻正整数的积.
求：n的值.（1985年上海市初中数学竞赛题）
解：设9n2+5n+26＝m(m+1)，m为正整数.
m2+m－(9n2+5n)=26.（把左边化为积的形式，先配方再分解因式）
（m+）2－(3n+)2=26+,
(m++3n+)(m+－3n－)=25，
去分母并整理得：（3m+9n+4）(3m－9n－1)=230.
∵230＝1×230＝2×115＝5×46＝10×23，且3m+9n＞3m－9n..
∴；或；
或；或.
解方程组，正整数的值只有n=2或n=6.
例6.已知：方程x2－2(m+1)x+m2=0有两个整数根，且12＜m<60.
求：m的整数值.
解：要使一元二次方程有整数解，必须△为完全平方数.
△＝［－2（m+1）］2－4m2=8m+4=4(2m+1).
即当2m+1是完全平方数时，方程有整数解.
∵12<m<60,
∴25<2m+1<121，
完全平方数.2m+1=36,49,64,81,100.
则2m=35,48,63,80,99.
∴m的整数值，只有24，40.
检验：当m=24时，有整数解32，18；当m=40时，有整数解50，32.
答：当m=24或m=40时，方程x2－2(m+1)x+m2=0有两个整数根.
练习
1.