正弦定理和余弦定理教学设计.doc

第七节正弦定理和余弦定理

(见学生用书)

考纲传真掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
1．正弦定理和余弦定理
定理正弦定理余弦定理内容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bc·cos_A，
b2＝c2＋a2－2ca·cos_B，
c2＝a2＋b2－2ab·cosC.变形形式①a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，
c＝2Rsin_C；
②a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；
③eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(a,sinA).cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；
cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)；
cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).解决问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.2.三角形常用面积公式
(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsin_B＝eq\f(1,2)bcsin_A．
(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．
,

1．在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的什么条件？“A＞B”是“cosA＜cosB”的什么条件？
【提示】在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔eq\f(a,2R)＞eq\f(b,2R)⇔sinA＞sinB，∴A＞B是sinA＞sinB的充要条件，
易知A＞B是cosA＜cosB的充要条件．
2．如何利用余弦定理来判定三角形中角A为锐角、直角、钝角？
【提示】应判断b2＋c2－a2与0的关系；当b2＋c2－a2＞0时，A为锐角；当b2＋c2－a2＝0时，A为直角；当b2＋c2－a2＜0时，A为钝角．

1．(人教A版教材习题改编)已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝eq\r(6)＋eq\r(2)，且A＝75°，则b＝()

A．2B．4＋2eq\r(3)
C．4－2eq\r(3)D.eq\r(6)－eq\r(2)
【解析】在△ABC中，易知B＝30°，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos30°＝4.∴b＝2.
【答案】A
2．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝()
A.eq\f(\r(6),3)B.eq\f(2\r(2),3)C．－eq\f(\r(6),3)D．－eq\f(2\r(2),3)
【解析】由正弦定理，得sinB＝eq\f(b·sinA,a)＝eq\f(\r(3),3).
∵a＞b，A＝60°，
∴B＜60°，cosB＝eq\r(1－sin2B)＝eq\f(\r(6),3).
【答案】A
3．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有()
A．无解B．两解
C．一解D．解的个数不确定
【解析】∵bsinA＝24sin45°＝12eq\r(2)＜18，
∴bsinA＜a＜b，
故此三角形有两解．
【答案】B
4．(2012·福建高考)在△ABC中，已知∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，BC＝eq\r(3)，则AC＝________．
【解析】根据正弦定理，得eq\f(AC,sinB)＝eq\f(BC,sinA)，
故AC＝eq\f(BC·sinB,sinA)＝eq\f(\r(3)sin45°,sin60°)＝eq\f(\r(3)×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝eq\r(2).
【答案】eq\r(2)
5．△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．
【解析】由余弦定理知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°，
即49＝25＋BC2＋5BC，解得BC＝3.
故S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BCsin120°＝eq\f(1,2)×5×3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(15\r(3),4).
【答案】eq\f(15\r(3),4)

(见学生用书)

利用正、余弦定理解三角形(2013·大连模拟)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝eq\r(2)a.
(1)求eq\f(b,a)；
(2)若c2＝b2＋e