抽象函数的性质及解题技巧.doc

重庆书之香教育抽象函数专题CHONGQINGEDUCATION抽象函数（一）常用抽象函数及其模型特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx(k≠0)f(x+y)=f(x)+f(y)幂函数f(x)=xnf(xy)=f(x)f(y)[或]指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)f(x+y)=f(x)f(y)[对数函数f(x)=logax(a>0且a≠1)f(xy)=f(x)+f(y)[正、余弦函数f(x)=sinxf(x)=cosxf(x+T)=f(x)正切函数f(x)=tanx余切函数f(x)=cotx（二）抽象函数常出题型1、定义域问题--------多为简单函数与复合函数的定义域互求。评析：已知f(x)的定义域是A，求的定义域问题，相当于解内函数的不等式问题。例：已知函数f(x)的定义域是，求函数的定义域。评析：已知函数的定义域是A，求函数f(x)的定义域。相当于求内函数的值域。2、求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验;例.对任意实数x,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______.解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手：令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2,令x=y=0,得：f(0)=0,∴f(1)=,②R上的奇函数y=f(x)有反函数y=f-1(x),由y=f(x+1)与y=f-1(x+2)互为反函数，则f(2009)=.解析：由于求的是f(2009)，可由y=f-1(x+2)求其反函数y=f(x)-2,所以f(x+1)=f(x)-2，又f(0)=0,通过递推可得f(2009)=-4918.练习：函数f(x)为R上的偶函数，对都有成立，若，则=（）A.2005B.2C.1D.03、值域问题例.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在,使得，求函数f(x)的值域。解：令x=y=0，有f(0)=0或f(0)=1。若f(0)=0，则f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故f(0)≠0，必有f(0)=1。由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x、y均成立，因此，,又因为若f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与f(0)≠0矛盾,所以f(x)>0.4、解析式问题（换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法，例1、设对满足x≠0,x≠1的所有实数x，函数f(x)满足,,求f(x)的解析式。解:----（2）---（3）小结：通过解方程组的方法可求表达式。怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。例2、已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x).解:易知f(x)是二次多项式，设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，代入比较系数得:a=1,b=-2,c=-1,f(x)=x2-2x-1.小结：如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。5、单调性问题（抽象函数的单调性多用定义法解决）例1、设函数f(x)对任意实数x,y，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0时f(x)<0,且f(1)=-2,求f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值.解析:由单调性的定义步骤设x1<x2,则f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)<f(x1).（∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0）所以f(x)是R上的减函数,故f(x)在[-3,3]上的最大值为f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6,最小值为f(-3),令x=y=0,得f(0)=0,令y=-x,得f(-x)+f(x)=f(0)=0,即f(x)为奇函数.∴f(-3)=-f(3)=6.练习:已知偶函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有，且当时，f(x)在(0,+∞)上是增函数；解：（1）设，则∵，∴，∴，即，∴∴在上是增函数6、奇偶性问题例：已知函数f(x)(x≠0的实数)对任意不等于零的实数x、y都有f(x﹒y)=f(x)+f(y)，试判断函数f(x)的奇偶性。解析：函数具备奇偶性的前提是定义域关于原点对称，再考虑f(-x)与f(x)的关系：取y=-1有f(-x)=f(x)+f(-1),取x=y=-1有f(1)=2f(-1)，取x=y=1有f(1)=0.所以f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数。注：若由奇偶性的定义看复合函