一道课本习题的变式和引申.docx

一道课本习题的变式和引申纵观近几年来的高考数学试题源于课本的题型占据了一定的分量.因此对于数学课本上具有代表性和典型性的习题教师应挖掘题目的广度和深度扩大题目的辐射面这对提高学生的解题能力发展学生的创新思维能力具有重要的意义.【例】（北师大版高中《数学》（必修5）复习题一第7题）观察下列的数阵问第20行最左边的数是几？第20行所有数的和是多少？解析：本题属于寻找规律、数列求项和求和题由数阵可以发现第20行最右边的数是an=202=400.第20行的数成等差数列d=1n=20×2-1=39有400=a1+（39-1）×1解得a1=362S39=na1+n（n+1）d2=14859.【变式1】等腰三角形数表问题将全体正整数排成一个三角形数表：按照以上排列的规律第n行（n≥3）从左向右的第2个数为.解析：通过列举、归纳、猜想前n-1行共有1+2+3+…+（n-1）个数即共有n2-n2个因此第n行第2个数是全体正整数中第n2-n2+2个数即n2-n2+2.也可以观察每行第二个数的特点归纳出第n+1行的数比第n行的数多n进而求得结果.本题属于数列求通项题通过此题可复习等差数列有关公式培养学生归纳、分析的能力.【变式2】回形数表问题（根据2008江苏高考零距离突破二轮复习题改编）将正整数排成如下的螺旋状：第一个拐弯处的数是2第二个拐弯处的数是3第24个及第29个拐弯处的数分别是解析1：由图可知前n个拐弯处的数依次是23571013172126…①这是一个数列题目要求找出它的第24项和第29项各是多少因此要找出这个数列的规律经观察该数列的后一项减去前一项得一新数列122334455…②把数列①的第一项添在数列②的前面得2122334455…③观察数列①③发现原数列①的第n项an就等于数列③的前n项和即a1=2a2=2+1=3a3=2+1+2+2=7…故第24个拐弯处的数a24=2+1+2+2+…+12+12=157a29=2+1+2+2+…+14+14+15=226.解析2：设第i个拐弯处的数为ai显然a1=2a2i=a2i-1+ia2i+1=a2i+（i+1）a24=a23+12=a22+12+12=…=a1+1+2（2+…+12）=157a29=a1+1+2（2+…+14）+15=226.两种解法由具体到抽象体现出思维不断优化的过程.解决数表问题需细心研究其元素排列的规律即构成数列的元素或数列的项是按照何种规则排列而成的有时即使找到排列的规则但如果不能对所发现的规律所蕴含的信息进行整理再加工解题同样会误入歧途.总之为了适应新课程的需要高考命题会出现一些新情况、新定义、新背景的问题.教学中通过设计一题多变的训练不仅可以复习知识与方法而且会使学生的思维活动逐步展开使学生经历探索发现新知识的过程从而培养学生的创新意识和发散思维能力.