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方差越小就越好吗——对一类统计问题的质疑问题一:某校从甲、乙两名优秀选手中选一名选手参加全市中学生田径百米比赛.该校预先对这两名选手测试了8次,测试成绩如下表:12345678选手甲的成绩/秒12.112.21312.513.112.512.412.2选手乙的成绩/秒1212.412.81312.212.812.312.5根据测试成绩,请你运用所学过的统计知识做出判断,派哪一位选手参加比赛更好?为什么?(济南市2002年中考题)参考答案为:甲=12.5,乙=12.5,s甲2=0.12,s乙2=0.10.因为s甲2>s乙2,所以,虽然甲、乙两人的平均成绩相等,但是乙的成绩较稳定,所以按所学知识判断,应派乙选手参加比赛.问题二:甲、乙两组学生各有8人参加一门学科的测试,成绩如下(单位:分):甲组7584809075767981乙组7085887190727589请比较两组学生的成绩.(2002版数学自学辅导教材代数第四册课本68页章首题)解答:甲=乙=80(分),s甲2=23,s乙=67.5.因为s甲2<s乙2,所以甲组成绩的波动比乙组成绩的波动小,这表明甲组成绩比乙组成绩稳定一些,即甲组成绩好于乙组成绩.本文拟对以上题目及解答提出几点质疑.1.两个问题的出题人认为在平均成绩相同的情况下,把方差小的作为成绩好的,我认为这是对方差概念的误解.方差是反映一组数据波动大小或离中趋势的特征数,即方差只是反映一组数据的波动大小,至于波动大了好还是波动小了好,亦即方差大了好还是方差小了好,要看这组数据所反映的实际问题.若表示的是加工的几个零件的直径(如),其=50,则它的方差越小越好.就第一个实际问题来讲,平均成绩、方差都是次要的,重要的是看他们的发展潜力或到比赛时的竞技状态,从甲、乙两人的最后四次成绩看,甲是13.1,12.5,12.4,12.2;乙是12.2,12.8,12.3,12.5.由此可以看出,甲的状态恢复、提高明显,成绩越来越好,而乙明显不如甲.就第二个实际问题来讲,衡量这两组成绩优劣的主要指标应是平均成绩,方差不应当作为这两组成绩优劣的指标,因为甲、乙两组的平均成绩相同,要再比较这两组成绩的优劣,可再比较他们的优秀率(85分以上为优秀)或高分情况.另一方面,在素质教育的今天培养的人才是“全面+特长”,所以在全面发展的情况下,应鼓励个人在某些方面“冒尖”、创新,从这一点看,在平均成绩相同的情况下,方差小了反而不好.优秀率:甲为12.5%,乙为50%,乙组优于甲组;高分情况:如90分以上,都是一人,持平,若是84分以上,甲为2人,乙为4人,乙组优于甲组.2.第一个问题,从统计的两人的成绩看,都是中间的几次较差,不知是什么原因.这是否是真实的从实际中取得的数据,值得怀疑(作为实际问题,取得的数据应符合实际).3.第一个问题中说“预先对这两名选手测试了8次”,是在一天中连续测得(这似乎不符合实际),还是在一段时间的训练中每隔几天测一次测得的,没有说明.这就给我们分析他们的潜力情况和训练效果,进而判定应派谁去参加比赛带来了“麻烦”.