高中数学 第2章 数列 2.4 数列求和学案 苏教版必修5-苏教版高二必修5数学学案.doc

162．4数列求和1.掌握数列求和的几种基本方法：公式法、分组法、错位相减法、拆裂项法、倒序相加法．2．体会数学中的转化思想．[学生用书P36])1．数列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an则an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1n＝1Sn－Sn－1n≥2.))2．等差数列的前n项和公式Sn＝eq\f(n（a1＋an）2)＝na1＋eq\f(n（n－1）2)d．3．等比数列的前n项和公式(1)当q＝1时Sn＝na1；(2)当q≠1时Sn＝eq\f(a1（1－qn）1－q)＝eq\f(a1－anq1－q)．1．已知数列{an}为等比数列且前n项和S3＝3S6＝27则公比q＝________．解析：q3＝eq\f(S6－S3S3)＝eq\f(27－33)＝8所以q＝2.答案：22．若数列{an}的前n项和Sn＝eq\f(23)an＋eq\f(13)则{an}的通项公式是an＝________．解析：当n＝1时S1＝eq\f(23)a1＋eq\f(13)所以a1＝1.当n≥2时an＝Sn－Sn－1＝eq\f(23)an＋eq\f(13)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(23)an－1＋\f(13)))＝eq\f(23)(an－an－1)所以an＝－2an－1即eq\f(anan－1)＝－2所以{an}是以1为首项的等比数列其公比为－2所以an＝1×(－2)n－1即an＝(－2)n－1.答案：(－2)n－13．设数列{an}{bn}都是等差数列若a1＋b1＝7a3＋b3＝21则a5＋b5＝________．解析：设两等差数列组成的和数列为{cn}由题意知新数列仍为等差数列且c1＝7c3＝21则c5＝2c3－c1＝2×21－7＝35即a5＋b5＝35.答案：35公式法求和[学生用书P36]已知等比数列{an}的公比q＝－eq\f(12).(1)若a3＝eq\f(14)求数列{an}的前n项和；(2)证明：对任意k∈N*akak＋2ak＋1成等差数列．【解】(1)由a3＝a1q2＝eq\f(14)及q＝－eq\f(12)得a1＝1所以数列{an}的前n项和Sn＝eq\f(1×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12)))\s\up12(n)))1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12))))＝eq\f(2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12)))\s\up12(n－1)3).(2)证明：对任意k∈N*2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝2a1qk＋1－(a1qk－1＋a1qk)＝a1qk－1(2q2－q－1)由q＝－eq\f(12)得2q2－q－1＝0故2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝0.即2ak＋2＝ak＋ak＋1所以对任意k∈N*akak＋2ak＋1成等差数列．eq\a\vs4\al()若已知数列是等差数列或等比数列求和时一般采用求和公式也可把一些常见的数列的求和公式记住成为公式化的知识．如：①1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n（n＋1）2)；②1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2；③eq\f(12)＋eq\f(122)＋eq\f(123)＋…＋eq\f(12n)＝1－eq\f(12n)；④1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1.1.已知等差数列{an}a2＝9a5＝21.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝2an求数列{bn}的前n项和Sn.解：(1)设等差数列{an}的公差为d依题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝9a1＋4d＝21))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝5d＝4.))所以{an}的通项公式为an＝4n＋1.(2)因为由an＝4n＋1得bn＝24n＋1所以{bn}是首项b1＝25公比q＝24的等比数列于是得{bn}的前n项和Sn＝eq\f(25×（24n－1）24－1)＝eq\f(32×（24n－1）15).分组法求和[学生用书P37]已知{an}是等差数列{bn}是等比数列且b2＝3b3＝9a1＝b1a14＝b4.(1)求{an}的通项公式；(2)设cn＝an＋bn求数列{cn}的前n项和．【解】(1)等比数列{bn}的公比q＝eq\f(b3b2)