高中数学《空间中的垂直关系》学案1 新人教B版必修2.doc

空间中的垂直关系一.学习内容：空间中的垂直关系二、学习目标1、掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理并能运用它们进行论证和解决有关的问题；2、掌握平面与平面垂直的概念和判定定理、性质定理并能运用它们进行推理论证和解决有关问题；3、在研究垂直问题时要善于应用“转化”和“降维”的思想通过线线、线面、面面平行与垂直关系的转化从而使问题获得解决。三、知识要点1、直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直那么就称这条直线和这个平面垂直。2、直线与平面垂直的判定：常用方法有：①判定定理：.②b⊥αa∥ba⊥α；（线面垂直性质定理）③α∥βa⊥βa⊥α（面面平行性质定理）④α⊥βα∩β=la⊥laβa⊥α（面面垂直性质定理）3、直线与平面垂直的性质定理：①如果两条直线同垂直于一个平面那么这两条直线平行。（a⊥αb⊥α⇒a∥b）②直线和平面垂直时那么该直线就垂直于这个平面内的任何直线（）4、点到平面的距离的定义：从平面外一点引这个平面的垂线这个点和垂足间的线段的长度叫做这个点到平面的距离。特别注意：点到面的距离可直接向面作垂线但要考虑垂足的位置如果垂足的位置不能确定往往采取由点向面上某一条线作垂线再证明此垂足即为面的垂足。5、平面与平面垂直的定义及判定定理：（1）定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直就说这两个平面互相垂直。记作：平面α⊥平面β（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线那么这两个平面互相垂直。（简称：线面垂直面面垂直）6、两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。（简称：面面垂直线面垂直。）思维方式：判定两相交平面垂直的常用方法是：线面垂直面面垂直；有时用定义也是一种办法。【典型例题】例1、（1）对于直线m、n和平面α、βα⊥β的一个充分条件是（）A、m⊥nm∥αn∥βB、m⊥nα∩β=mnαC、m∥nn⊥βmαD、m∥nn⊥βm⊥α（2）设a、b是异面直线给出下列命题：①经过直线a有且仅有一个平面平行于直线b；②经过直线a有且仅有一个平面垂直于直线b；③存在分别经过直线a和b的两个平行平面；④存在分别经过直线a和b的两个平面互相垂直。其中错误的命题为（）A、①与②B、②与③C、③与④D、仅②（3）已知平面α⊥平面βm是α内一条直线n是β内一条直线且m⊥n那么甲：m⊥β；乙：n⊥α丙：m⊥β或n⊥α；丁：m⊥β且n⊥α。这四个结论中不正确的三个是（）解：（1）对于A平面α与β可以平行也可以相交但不垂直。对B平面α内直线n垂直于两个平面的交线m直线n与平面β不一定垂直平面α、β也不一定垂直。对Dm⊥αm∥n则n⊥α又n⊥β所以α∥β。只有C正确m∥nn⊥β则m⊥β又mα由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β。故选C。（2）①正确过a上任一点作b的平行线b′则ab′确定唯一平面。②错误假设成立则b⊥该平面而a该平面∴a⊥b但a、b异面却不一定垂直。③正确分别过a、b上的任一点作b、a的平行线由各自相交直线所确定的平面即为所求。④正确换角度思考两个垂直的平面内各取一直线会出现各种异面形式综上所述：仅②错误选D（3）丙正确。举反例：在任一平面中作平行于交线的直线m（或n）在另一平面作交线的垂线n（或m）即可推翻甲、乙、丁三项。思维点拨：解决这类问题关键是注意这是在空间而非平面内。例2、如图ABCD为直角梯形∠DAB=∠ABC=90°AB=BC=aAD=2aPA⊥平面ABCD。PA=a。（1）求证：PC⊥CD。（2）求点B到直线PC的距离。（1）证明：取AD的中点E连AC、CE则ABCE为正方形ΔCED为等腰直角三角形∴AC⊥CD∵PA⊥平面ABCD∴AC为PC在平面ABCD上的射影∴PC⊥CD（2）解：连BE交AC于O则BE⊥AC又BE⊥PAAC∩PA=A∴BE⊥平面PAC过O作OH⊥PC于H则BH⊥PC∵PA=aAC=aPC=a∴OH=∵BO=a∴BH=即为所求。例3、在斜三棱柱A1B1C1—ABC中底面是等腰三角形AB=AC侧面BB1C1C⊥底面ABC（1）若D是BC的中点求证AD⊥CC1；（2）过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M若AM=MA1求证截面MBC1⊥侧面BB1C1C；（3）AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C的充要条件吗？请你叙述判断理由。命题意图：本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质。知识依托：线面垂直、面面垂直的判定与性质。错解分析：（3）的结论在证必要性时辅助线要重新作出。技巧与方法：本题