高中数学《空间中的垂直关系》学案2 新人教B版必修2.doc

空间中的垂直关系一．课标要求：以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点通过直观感知、操作确认、思辨论证认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定。通过直观感知、操作确认归纳出以下判定定理：◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直则该直线与此平面垂直。◆一个平面过另一个平面的垂线则两个平面垂直。通过直观感知、操作确认归纳出以下性质定理并加以证明：◆两个平面垂直则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。二．命题走向近年来立体几何高考命题形式比较稳定题目难易适中常常立足于棱柱、棱锥和正方体复习是要以多面体为依托始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性质和判定作为考察重点。在难度上也始终以中等偏难为主在新课标教材中将立体几何要求进行了降低重点在对图形及几何体的认识上实现平面到空间的转化示知识深化和拓展的重点因而在这部分知识点上命题将是重中之重。预测高考将以多面体为载体直接考察线面位置关系：（1）考题将会出现一个选择题、一个填空题和一个解答题；（2）在考题上的特点为：热点问题为平面的基本性质考察线线、线面和面面关系的论证此类题目将以客观题和解答题的第一步为主。（3）解答题多采用一题多问的方式这样既降低了起点又分散了难点。三．要点精讲1．线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角两直线垂直；垂直于平行线中的一条必垂直于另一条。三垂线定理：在平面内的一条直线如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直那么它也和这条斜线垂直。三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直那麽它也和这条斜线的射影垂直。推理模式：。注意：⑴三垂线指PAPOAO都垂直α内的直线a其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a的位置并注意两定理交替使用。2．线面垂直定义：如果一条直线l和一个平面α相交并且和平面α内的任意一条直线都垂直我们就说直线l和平面α互相垂直其中直线l叫做平面的垂线平面α叫做直线l的垂面直线与平面的交点叫做垂足。直线l与平面α垂直记作：l⊥α。直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直那么这条直线垂直于这个平面。直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面那么这两条直线平行。3．面面垂直两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。两平面垂直的判定定理：（线面垂直面面垂直）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线那么这两个平面互相垂直。两平面垂直的性质定理：（面面垂直线面垂直）若两个平面互相垂直那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。四．典例解析题型1：线线垂直问题例1．如图1所示已知正方体ABCD—A1B1C1D1中E、F、G、H、L、M、N分别为A1D1A1B1BCCDDADECL的中点求证：EF⊥GF。证明：如图2作GQ⊥B1C1于Q连接FQ则GQ⊥平面A1B1C1D1且Q为B1C1的中点。ABCDEA1B1C1OF在正方形A1B1C1D1中由E、F、Q分别为A1D1、A1B1、B1C1的中点可证明EF⊥FQ由三垂线定理得EF⊥GF。点评：以垂直为背景加强空间想象能力的考查体现了立体几何从考查、论证思想。例2．（2006全国Ⅱ19）如图在直三棱柱ABC－A1B1C1中AB＝BCD、E分别为BB1、AC1的中点证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线。证明：设O为AC中点连接EOBO则EOEQ\o(\s\up(∥)\s\do3(＝))EQ\f(12)C1C又C1CEQ\o(\s\up(∥)\s\do3(＝))B1B所以EOEQ\o(\s\up(∥)\s\do3(＝))DBEOBD为平行四边形ED∥OB。∵AB＝BC∴BO⊥AC又平面ABC⊥平面ACC1A1BO面ABC故BO⊥平面ACC1A1∴ED⊥平面ACC1A1BD⊥AC1ED⊥CC1∴ED⊥BB1ED为异面直线AC1与BB1的公垂线。点评：该题考点多具有一定深度但入手不难逐渐加深逻辑推理增强。题型2：线面垂直问题例3．（1）（2006北京文17）如图ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱求证：BD⊥平面ACC1A1。（2）（2006天津文19）如图在五面体ABCDEF中点O是矩形ABCD的对角线的交点面CDE是等边三角形棱。（I）证明平面；（II）设证明平面。证明：（1）∵ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱∴CC1⊥平面ADCD∴BD⊥CC1∵ABCD是正方形∴BD⊥AC又∵ACCC1平面ACC1A1且AC∩CC1=C∴BD⊥平面ACC1A1。（2）证明：（I）取CD中点M连结OM。在矩形ABCD中又则连结EM于是四边形EFOM为平行四边形。又平面CDE且平面CDE平面CDE。（II）连结