韦达定理的应用.doc

浅议韦达定理的应用安徽省安庆市五横初中戴向阳邮政编码246051电话[phone]身份证34082219741016051X【韦达定理】内容：如果m、n是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，则有mn=c/a，m+n=-b/a。韦达定理是反映一元二次方程的根与系数关系的重要定理。是研究以下两方面问题的重要又快捷的手段：已知方程系数，探索根的符号及代数式；已知方程的根或根的代数式，确定方程的系数。是有效解决一些复杂问题的良方妙药，它的潜在价值，使它成为数学中独特的方法，在诸学科方法中成为一道亮丽风景线。其基本应用有：不解方程，检验两个数是否是一元二次方程的两根；已知方程的一根，求另一根及方程系数；已知方程两根，写出一元二次方程一般形式x2-（m+n）x+mn=0。一、韦达定理常规应用=1\*romani）运用韦达定理，检验一元二次方程的根例1关于x的方程x2-（2n+1）x+n2+n=0的两根分别是（）Ax1=-n，x2=-n-1Bx1=-n，x2=nCx1=n，x2=n+1Dx1=n，x2=n2【点拨】利用韦达定理，逐项验证，可得正确选项C。=2\*romanii）运用韦达定理，求一元二次方程的另一根及相关参数例2【07芜湖】已知2-√5是一元二次方程x2-4x+c=0的一个根，则方程的另一个根是。【点拨】根据韦达定理知：两根之和是4，由一根是2-√5，得另一根为2+√5。例1如果从正面入手，试图解一元二次方程，则比较繁琐。即使可用因式分解法解，知道的人也不多。例2若从常规着眼，先将已知根代入方程求出c值，再解方程，也因2-√5无理式之故，增加了计算量，再解方程既耗时又易错。相比【点拨】，【点拨】解法早已超出事半功倍之效。下面介绍韦达定理在其它方面的灵活运用。二、韦达定理的巧用=1\*GB2⑴、利用韦达定理求两根的对称式或轮换式等的值。例3【08天门】已知关于x的方程x2+4x+m-1=0。⑴请你为m选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根；⑵设α，β是⑴中你所得到的方程的两个实数根，求α2+β2+αβ的值。【点拨】由⑴当m=1，原方程化为x2+4x=0，根据韦达定理得α+β=-4，αβ=0，∴α2+β2+αβ=（α+β）2-αβ=（-4）2-0=16。⑵、逆用韦达定理构建一元二次方程，转化为方程根。例4解方程组a+b=3ab=2【点拨】根据韦达定理，a、b可视为一元二次方程x2-3x+2=0的两根，通过解该方程易得a=2，或a=1，b=1b=2。=3\*GB2⑶、利用韦达定理探讨与根的符号相关的问题。例5当a为何值时，方程x2-（a+1）x+a+4=0的两个根都是正数。【解】设两个实根为m、n，则它们都是正数的条件为△≥0（a+1）2-4（a+4）≥0m+n＞0即a+1＞0mn＞0a+4＞0解不等式组得a≥5。故当a≥5时，方程的两个根都是正数。=4\*GB2⑷、把握代数式或方程结构特点，转化为韦达定理求代数式值。例6已知a2-3a=1，b2-3b=1，且a≠b，求b/a2+a/b2的值。【解】观察已知中两式特点，发现a、b可视作方程x2-3x-1=0的两根，故有a+b=3，ab=-1。从而b/a2+a/b2=（a3+b3）/a2b2=｛（a+b）3-3ab（a+b）｝/a2b2=27+3×3=36。=5\*GB2⑸、利用韦达定理，巧证等式。例7已知（a-c）2-4（a-b）(b-c)=0且a≠b,求证:a+c=2b。【证明】构造方程（a-b）x2-（a-c）x+b-c=0。当x=1时，方程左边=a-b-a+c+b-c=0所以x1=1是方程的一个根。又由已知条件知△=0，故方程有两个相等实根。∴x1=x2=1，于是由韦达定理，得x1x2=(b-c)/（a-b）=1，即b-c=a-b，故a+c=2b。=6\*GB2⑹、利用韦达定理，巧解无理方程。【1979年成都市中学数学竞赛题】解方程：n4-xnx2x4-x【解】设第一项为a，第二项为b。则可得方程组a+b=2ab=1从而a、b是方程t2-2t+1=0的根，解得a=b=1。故n4-x1或nx1x4-x解得x=2。笛卡尔指出：“没有正确的方法，即使是有眼睛的博学者也会像瞎子一样盲目摸索。”正确地运用韦达定理，会使茫无头绪的问题，拨开云雾见太阳，水落石出。