高中数学 第六章 平面向量初步 6.1.4 数乘向量 6.1.5 向量的线性运算学案 新人教B版必修第二册-新人教B版高一第二册数学学案.doc

6．1.4数乘向量6．1.5向量的线性运算考点学习目标核心素养数乘向量了解数乘向量的概念并理解数乘向量的几何意义数学抽象向量的运算律理解并掌握向量的混合运算会进行向量的线性运算数学运算问题导学预习教材P145－P150的内容思考以下问题：1．向量与实数可以求积那么向量和实数可以进行加减运算吗？2．数乘向量的定义及其几何意义是什么？3．向量线性运算满足哪些运算律？1．数乘向量一般地给定一个实数λ与任意一个向量a规定它们的乘积是一个向量记作λa其中：(1)当λ≠0且a≠0时λa的模为|λ||a|而且λa的方向如下：①当λ>0时与a的方向相同；②当λ<0时与a的方向相反．(2)当λ＝0或a＝0时λa＝0．上述实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量．当λ和μ都是实数时有λ(μa)＝(λμ)a．数乘向量的定义说明如果存在实数λ使得b＝λa则b∥a．■名师点拨(1)实数与向量可以进行数乘运算但不能进行加减运算如λ＋aλ－a均无法运算．(2)λa的结果为向量所以当λ＝0时得到的结果为0而不是0.2．向量的线性运算(1)向量的加法与数乘向量的混合运算一般地对于实数λ与μ以及向量a有λa＋μa＝(λ＋μ)a．一般地对于任意实数λ以及向量a与b有λ(a＋b)＝λa＋λb．(2)向量的线性运算向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混和运算统称为向量的线性运算．判断正误(正确的打“√”错误的打“×”)(1)对于任意的向量a总有0·a＝0.()(2)当λ＞0时|λa|＝λa.()(3)若a≠0λ≠0则a与－λa的方向相反．()答案：(1)×(2)×(3)×已知点C是线段AB靠近点B的三等分点下列正确的是()A.eq\o(AB\s\up6(→))＝3eq\o(BC\s\up6(→))B.eq\o(AC\s\up6(→))＝2eq\o(BC\s\up6(→))C.eq\o(AC\s\up6(→))＝eq\f(12)eq\o(BC\s\up6(→))D.eq\o(AC\s\up6(→))＝2eq\o(CB\s\up6(→))解析：选D.由题意可知eq\o(AB\s\up6(→))＝－3eq\o(BC\s\up6(→))；eq\o(AC\s\up6(→))＝－2eq\o(BC\s\up6(→))＝2eq\o(CB\s\up6(→)).故只有D正确．设四边形ABCD中有eq\o(DC\s\up6(→))＝eq\f(12)eq\o(AB\s\up6(→))且|eq\o(AD\s\up6(→))|＝|eq\o(BC\s\up6(→))|则这个四边形是()A．平行四边形B．矩形C．等腰梯形D．菱形答案：C如图在平行四边形ABCD中对角线AC与BD交于点Oeq\o(AB\s\up6(→))＋eq\o(AD\s\up6(→))＝λeq\o(AO\s\up6(→))则λ＝________．解析：由向量加法的平行四边形法则知eq\o(AB\s\up6(→))＋eq\o(AD\s\up6(→))＝eq\o(AC\s\up6(→)).又因为O是AC的中点所以AC＝2AO所以eq\o(AC\s\up6(→))＝2eq\o(AO\s\up6(→))所以eq\o(AB\s\up6(→))＋eq\o(AD\s\up6(→))＝2eq\o(AO\s\up6(→))所以λ＝2.答案：2向量的线性运算(1)若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0则x＝________．(2)化简下列各式：①3(6a＋b)－9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(13)b))；②eq\f(12)[(3a＋2b)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(12)b))]－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12)a＋\f(38)b))；③2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.【解】(1)由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0所以x＋3a－4b＝0所以x＝4b－3a.故填4b－3a.(2)①原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.②原式＝eq\f(12)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(32)b))－a－eq\f(34)b＝a＋eq\f(34)b－a－eq\f(34)b＝0.③原式＝1