必修四数学重点内容.doc

新课程高中数学必修4基础知识汇整第一部分三角函数与三角恒等变换1．任意角和弧度制⑴1弧度角：等于半径的弧长所对的圆心角为1弧度角⑵弧度数公式：⑶角度制与弧度制的互化：弧度，弧度，弧度.⑷弧长公式：；扇形面积公式：.2．三角函数定义：⑴设α是一个任意角，终边与单位圆交于点P(x,y)，那么y叫作α的正弦，记作sinα；x叫作α的余弦，记作cosα；叫作α的正切，记作tanα.⑵角中边上任意一点为，设，则：.三角函数在各象限的符号规律：一全二正弦，三切四余弦.3．三角函数线：正弦线：MP；余弦线：OM；正切线：AT.4．诱导公式：角函数正弦余弦正切//六组诱导公式统一为“”，记忆口诀一：奇变偶不变，符号看象限.记忆口诀二：纵变横不变，符号看象限.5．同角三角函数基本关系：（平方和关系）；（商数关系）.6．两角和与差的正弦、余弦、正切：①；②；③.两角和与差的正弦、余弦、正切的变形运用：7．辅助角公式：=.8．二倍角公式：①；②；③.变形：升幂公式：;降幂公式：；.9.物理意义：物理简谐运动，其中.振幅为A，表示物体离开平衡位置的最大距离；周期为，表示物体往返运动一次所需的时间；频率为，表示物体在单位时间内往返运动的次数；为相位；为初相.10．三角函数图象与性质：函数图象作图：五点法作图：五点法作图：三点二线定义域（－∞，＋∞）（－∞，＋∞）值域［－1，1］［－1，1］（－∞，＋∞）极值当x＝2kπ＋,ymax=1极大；当x＝2kπ＋ymin=-1当x＝2kπ,ymax＝1；当x＝2kπ＋π,ymin＝－1无奇偶奇函数偶函数奇函数T2π2ππ单调性递增递减递增递减递增（注：表中k均为整数）11.正弦型函数的性质及研究思路：①最小正周期，值域为.②五点法图：把“”看成一个整体，取时的五个自变量值，相应的函数值为，描出五个关键点，得到一个周期内的图象.③三角函数图象变换路线：.或：.④单调性：的增区间，把“”代入到增区间，即求解.⑤整体思想：把“”看成一个整体，代入与的性质中进行求解.这种整体思想的运用，主要体现在求单调区间时，或取最大值与最小值时的自变量取值.第二部分平面向量1.向量与数量：在数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量，反之，把只有大小，没有方向的量称为数量.向量常用有向线段来表示，记为或（起点A，终点B）.向量的大小叫做向量的长度（或模），记为或.规定长度为0的向量叫做零向量，记为；长度等于1个单位的向量称为单位向量.2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，记作，并规定零向量平行于任意一个向量.平行向量都可以移到同一直线上，因而也叫共线向量.方向相同且长度相等的向量称为相等向量，记作.与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为，规定零向量的相反向量仍是零向量.3.向量加减法：向量加减法运算遵循三角形法则与平行四边形法则.如图所示，已知非零向量，在平面内任取一点O，作，则向量.若作，则向量.向量的加减法满足：交换律；结合律.向量不等式：对于任意两个向量，有.向量加法多边形法则：向量首尾相接，结果首尾连.4.向量数乘运算：实数与向量的乘积仍然是一个向量，这种运算称为向量的数乘，记作，并规定：①；②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，.数乘运算满足下列运算律：分配律、；结合律.对于任意向量，以及任意实数，恒有.向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.5.平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使.把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.向量夹角：对两个非零向量，在平面内任取一点O，作，则叫做向量与夹角.当与夹角是90°时，与垂直，记作.正交分解：依据平面向量的基本定理，对平面上的任意向量，均可分解为不共线的两个向量与，使.若把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底，则对于平面内的一个向量，有且只有一对实数x、y，使得.即平面内的任意向量都可由x、y唯一确定，把有序数对（x,y）叫做向量的坐标，记作，式子叫做向量的坐标表示.6.平面向量的数量积运算：，其中是与的夹角，叫做向量在方向上的投影.的几何意义：数量等于的长度与在的方向上的投影的乘积.把记作，有性质，从而.数量积运算满足下列运算律：交换律：；数乘结合律：；分配律：.力作功：一个物体在力的作用下产生位移，那么力所作的功，其中是与的夹角，从而.7.平面向量的坐标运算：设，，则加减法：，；数乘：；向量数量积：；模：；距离：；夹角：.8.向量共线：设，，其中，若共线，当且仅当存在实数，使，即.由此可证明平行问题、三点共线等.9.向量垂直：对于平面内任意两个非零向量，