数系的扩充与复数的概念.doc

数系的扩充与复数的概念【使用说明和学法指导】1.阅读课本的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力.2.完成问题导学中设置的问题，然后结合课本的基础知识，完成相应的练习.3.将预习中不能解决的问题标出来，并完成后面的学习总结.【学习目标】1.了解实数系扩充到复数系的过程.2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.3.通过丰富的例题，让学生理解并掌握有关复数的基本概念.【问题导入】回顾从自然数系到实数系的扩充历程：由于现实生活中计数的需要，从而产生了自然数集；自然数的加法和乘法仍是自然数，但相减不一定是自然数，于是产生了负数，自然数集扩充到了集；整数集对于加法，减法和乘法能保证其封闭性，但对于除法运算不是封闭的，为此引入了分数，整数集扩充到了集；在有理数中加减乘除（除数不为0）总可以实施，但不能求解，所以产生了无理数，有理数集就扩充到了集。可以发现数系的每一次扩充，都解决了在原有数集中某种运算不能实施的矛盾，且原数所有的运算规则在新数集中都得到了保留。思考：方程在实数集中无解。联系从自然数系到实数系的扩充过程，我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？复数的定义为了解决一类方程在实数集中无解的问题，数学家大胆的引入了一个新数把形如的数叫做，其中叫做，复数全体构成的集合叫，复数集用字母表示，集合形式为，复数常用字母表示，即，这一表示形式叫，其中a叫复数的，b叫复数的.规定：.强调：两个不全是实数的数不能比较大小，两个复数只有相等与不等之分;只有两个实数可以比较大小.2.对于复数当，z是实数；当，z是虚数；当，z是纯虚数.练习：a=0是复数a+bi(a、b∈Ｒ）为纯虚数的()A.充分非必要条件，B.必要非充分条件，C.充分必要条件，D.既非充分也非必要条件.3.复数集，实数集，虚数集，纯虚数集之间有什么样的包含关系？请写出来。4.性质：【自学检测】1.下列说法正确的是（）A.B.C.D.2.下列说法正确的是()A.任何两个复数都不能比较大小，B.当且仅当两个复数是实数时能比较大小，C.任何两个复数都能比较大小，D.任何两个实数都不能比较大小.3.复数的之为（）A.B.0C.1D.4.已知，,，则实数m的值为()A.－1B.－1或4C.6D.6或－15.若，求的值.【合作探究】例1.完成下列表格（分类一栏填虚数，实数或纯虚数）0虚部实部分类变式：复数为虚数，求的取值范围。例2.实数m取什么值时，复数z=m-1+(m+1)i是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？变式：已知，当为何值时，(1)是实数;(2)是虚数；(3)是纯虚数；（4）.例3.如果(x+y)+(y-1)i=(2x+3y)+(2y+1)i,求实数x,y的值.变式：已知复数与相等，且的实部、虚部分别是方程的两根，试求：实数的值。※【能力提升】1.计算：（1）（2）2.若，，那么使的的取值集合是什么？使的的取值集合是什么？我的学习总结：知识与方法方面数学思想与方法方面趣味阅读：数系发展史人类社会发展过程中，逐步学会了以对应的方法来计算事物的个数，如“结绅”计数，“堆石子”计数等。经过长期实践，把表示事物的个数：一个，两个，三个……；或把表示事物的次序：第一，第二，第三……抽象出来的数1,2,3,4……叫做自然数，最开始“0”不属于自然数，公元6世纪的巴比伦用空出一格来表示“零”，“0”是印度人的卓越发明。我国数学家刘徽说明“今两数得失相反，要令正负以名之”数系也就由自然数系扩展为整数系。整数集对于加，减，乘能保证其封闭性。但对于除数运算不是封闭的。这样产生了分数，记载分数最古老的典籍是约公元前1500年埃及著的草纸书。欧洲在15世纪以后才逐渐形成现代分数的算法。整数与分数构成了有理数，从有理数到实数经历了漫长的过程。从毕达哥拉斯学派发现与1不可公度，即不能表示成两个整数之比，到它的理论基本完成，经历了20个世纪。在数学史上是罕见的。希腊人叫它“没有比”西方译为“”我国的徐启光，李善兰把它译为“无理数”。1945年意大利有名的数学“怪杰”卡丹第一次开始讨论负数开平方的问题，当时复数被他称作“诡辩量”。几乎过了100年，笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了一个名字-----虚数。但是有过了140年，欧拉还是说这种数字只是存在于“幻想之中”，并用，即虚幻的缩写）来表示它的单位。后来德国数学家高斯给出了复数的定义，但他们仍感到这种数有点虚无缥缈，尽管他们也感到了它的作用。1830年，高斯详细论述了用直角坐标系的复平面上的点表示复数，使复数有了立足之地，人们才最终承认了复数。