基本不等式及其应用.docx

基本不等式及其应用基本不等式及其应用摘要：基本不等式在高中数学中具有极其重要的地位，从知识体系角度说，基本不等式不仅本身就是一个重要的数学知识模块，而且能与高中数学多个分支知识进行融合；从思维能力角度说，基本不等式是创造性与严谨性的有机结合、发散性思维与收敛性思维的辩证统一.本文从基本不等式的三个限制条件――“一正，二定，三等”入手，结合典型例题，探究基本不等式的运用，让学生充分经历知识的形成过程，从而形成自己对重难点的突破策略，培养学生的归纳、总结能力.关键词：基本不等式限制条件最值应用一、主干知识1.基本不等式：≤或a+b≥2.（1）基本不等式成立条件：a＞0，b＞0;（2）等号成立的条件：当且仅当a=b时取等号.2.基本不等式的拓展：ab≤（），其中a，b∈R.二、深入探究，加强理解问题：设x＞0，求函数y=x+的最小值.解析：∵x＞0“一正”∴x+≥2=2“二定”当且仅当x=，即x=1时，等号成立.“三等”故函数y=x+的最小值为2.点评：在应用基本不等式时，要把握三个限制条件，即“一正――各项都是正数；二定――和或积为定值；三相等――等号能取得”，这三个条件缺一不可．探究1：设x＜0，求函数y=x+的最大值.解析：∵x＜0，∴-x＞0，∴x+=-（-x+）≤-2=-2，当且仅当-x=，即x=-1时，等号成立.故函数y=x+的最大值为-2.变式：设x≠0，求函数y=x+的值域.解析：∵x≠0，∴|x|＞0，∴|x+|=|x|+≥2=2，当且仅当|x|=，即x=±1时，等号成立.∴|y|≥2，∴y≤-2或y≥2，即函数y=x+的值域为（-∞，-2］∪［２，＋∞）.另解：用分类讨论的方法（x≠0，分x＞0和x＜0两种情况）.点评：培养学生等价转化的思想，如何创造条件满足“一正――各项都是正数”.探究2：设a＞1，求a+的'最小值.解析：∵a＞1，∴a-1＞0，∴a+=a-1++1≥2+1=3，当且仅当a-1=，即a=2时，等号成立.故a+的最小值为3.变式：设0＜a＜1，求的最大值.解析：∵0＜a＜1，∴1-a＞0，∴=?≤?=，当且仅当a=1-a，即a=时，等号成立.故的最大值为.点评：运用基本不等式求最值的焦点在于凑配“和”与“积”，即满足“二定――和或积为定值”，并且在凑配过程中就应考虑到等号成立的条件.探究3：设t≥2，求t+的最小值.分析：本题不满足限制条件：“三相等――等号能取得”，故不能用基本不等式.解：由双钩函数y=t+的图像及性质，易知函数y在［2，+∞）上是增函数，当t=2时，t+的最小值为2.变式：已知x＞0，y＞0，且x+y=1，求+的最小值.错解：由已知，1=x+y≥2?圯≤?圯≥2∴+≥2=≥8∴+的最小值8.错因：多次用到基本不等式，能否取等号，当且仅当x=y，=，又x+y=1，但x，y无解.正解：∵x＞0，y＞0，∴+=（+）（x+y）=7++≥7+2=7+4当且仅当=又x+y=1，即x=2-3，y=4-2时，等号成立.故+的最小值为7+4.知识迁移：已知0＜x＜1，求+的最小值.解析：∵0＜x＜1，∴1-x＞0，∴+=（+）?（x+1-x）=7++≥7+4，当且仅当=，即x=2-3时，等号成立.故+的最小值为7+4.点评：运用基本不等式求最值时，应考虑到等号成立的条件.有些题目在拼凑过程中，注意通过“1”变换或添项进行拼凑，使分母能约去或分子能降次.三、高考回放A组1.（2009年湖南高考10）若x＞0，则x+的最小值为?摇?摇.2.（2010年重庆高考12）已知t＞0，则函数y=的最小值为?摇?摇.3.（2011年重庆高考7）若函数f（x）=x+（x＞2）在x=a处取最小值，则a=（）A.1+B.1+C.3D.4A组命题意图：主要考查灵活应用基本不等式求最值的知识，解决此类问题时，一定要注意“一正二定三等”，三者缺一不可.B组1.（2009年重庆高考7）已知a＞0，b＞0，则++2的最小值是（）A.2B.2C.4D.52.（2010年四川高考11）设a＞b＞0，则a++的最小值是（）A.1B.2C.3D.43.（2011年天津高考12）已知loga+logb≥1，则3+9的最小值为___________.B组命题意图：主要考查应用基本不等式探求最值问题，解答过程中经过几次的放缩才能达到目的，充分体现了试题思维的层次性.C组1.（2009年天津高考9）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a=b=3，a+b=2，则+的最大值为（）A.2B.C.1D.2.（2010年山东高考14）已知x，y∈R，且满足+=1，则xy的最大值为___________.3.（2011年浙江高考16）若实数x、y满足x+y+xy=1，则x+y的最大值是___________.C组命题意图：主要考查基本不等式的推广ab≤