利用空间向量解决立体几何问题.doc

利用空间向量解决立体几何问题立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系它主要包括线线垂直线面垂直线线平行线面平行；二是度量问题它主要包括点到线、点到面的距离线线、线面所成角面面所成角等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角而如何用向量证明线面平行计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难下面主要就这四方面问题谈一下自己的想法起到一个抛砖引玉的作用。一、怎样利用向量证明线面平行。方法：利用共面向量定理如果两个向量ab不共线则向量c与向量ab共面的充要条件是存在实数对xy使c=xa+yb。具体做法：若要证直线l与平面α平行只要在α内找到二个不共线向量ab在l上取向量c证得c=xa+yb(xy∈R)即可。例1、对于任何空间四边形试证明它的一对对边中点的连线段与另一对对边平行于同一平面。分析要证明EF、BC、AD平行于同一平面DF（E、F分别为AB、CD的中点）只要证明相应AEC向量EF与AD、BC共面即可。证明：如图利用B多边形加法法则可得=++=++…①。又E、F分别是AB、CD的中点故有=-=-…②将②代入①后两式相加得2=+∴=EQ\F(12)+EQ\F(12)即与、共面∴EF与AD、BC平行于同一平面。注：本题若用立体几何知识去证明有一定的难度由此体会向量法证明的优越性。例2、如图已知a⊥αa⊥bb￠α求证b∥α。证明：在α内作不共线向量mnb∵a、m、n不共面∴b=xa+ym+zn。a两边同乘a得a·b=x·a·a+y·a·m+z·a·nm∵a⊥ba⊥ma⊥n∴a·b=0a·m=0a·n=0n得x·a·a=0而a≠0∴x=0即b=ym+zn∴b、m、n为共面向量又b￠αb∥α。例3、正方体ABCD-A1B1C1D1中E是A1B上的点F是AC上的点且A1E=2EBCF=2AF求证：EF∥平面A1B1CD。D1C1证明：=++…（1）=1+++…（2）A1B1（1）×2+（2）并注意到=-2DC=-2=-FE得=EQ\F(13)-EQ\F(13)AB而EF￠平面A1B1CD∴EF∥平面A1B1CD。∴、为共面向量。二、怎样用向量求点到面的距离方法一：直接作出距离然后用向量进行计算例4：直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=EQ\R(3)底面ΔABC中∠C=90°AC=BC=1求点B1到平面A1BC的距离。解：如图建立空间直角坐标系由已知得直棱柱各顶点坐标如下：zA（100）B（010）C（000）A1C1A1（10EQ\R(3)）B1（01EQ\R(3)）C1（00EQ\R(3)）HB1∴=（-11-EQ\R(3)）=（-10-EQ\R(3)）xAC=（1-10）过B1作B1H⊥平面A1BCH为垂足yB连A1H由于及共面且不共线根据共面向量定理可设A1H=m+n（mn）为待定实数）。∴=m(-11-EQ\R(3))+n(-10-EQ\R(3))=(-m-nm-EQ\R(3)m-EQ\R(3)n)∴=1+=(1-10)+(-m-nm-EQ\R(3)m-EQ\R(3)n)=(1-m-n-1+m-EQ\R(3)m-EQ\R(3)n)∵⊥且⊥∴·=0且·=0∴5m+4n-2=0m=14m+4