空间向量数量积运算21.ppt

导入新课1.平面向量数量积的定义2.平面向量的数量积的主要性质设a，b是两个非零向量（1）a⊥ba×b=0数量积为零是判定两非零向量垂直的充要条件;（2）当a与b同向时,a·b=|a|·|b|;当a与b反向时,a·b=-|a|·|b|;特别地，用于计算向量的模;（3）用于计算向量的夹角.3.平面向量数量积满足的运算律（1）交换律:（2）对数乘的结合律:（3）分配律:问题:如图,线段AB,BD在平面α内，BD⊥AB，AC⊥α，AB=a，BD=b，AC=c,求C,D之间的距离以及异面直线CD与AB所成的角θ的余弦值.3.1.3空间向量的数量积运算知识要点范围:0≤〈a，b〉≤π在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且〈a，b〉=〈b，a〉.2.空间向量数量积的定义设OA=a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作:|a|已知空间两个非零向量，则叫做的数量积，记作,即（1）两个向量的数量积是数量，而不是向量.（2）规定:零向量与任意向量的数量积等于零.（3）3.空间向量数量积的运算律思考！若m、n是平面α内的两条相交直线，且l⊥m，l⊥n.则l⊥α.已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且l⊥m，l⊥n，求证：l⊥.分析：由定义可知，只需证l与平面内任意直线g垂直.要证l与g垂直，只需证l·g＝0而m，n不平行，由共面向量定理知，存在唯一的有序实数对(x,y)使得g=xm+yn要证l·g＝0,只需l·g=xl·m+yl·n=0而l·m＝0，l·n＝0故l·g＝0在内作不与m、n重合的任一条直线g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g，因m与n相交，得向量m、n不平行.由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使g=xm+yn,l·g=xl·m+yl·n∵l·m=0,l·n=0∴l·g=0∴l⊥g∴l⊥g这就证明了直线l垂直于平面内的任一条直线，所以l⊥.例题2证明已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC，OB⊥AC，求证：OC⊥AB.A课堂小结5.通过学习,体会到我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题（1）证明两直线垂直;（2）求两点之间的距离或线段长度;（3）证明线面垂直;（4）求两直线所成角的余弦值等等.高考链接解析：如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，设边长则∠P2P1P3=π/6,（1）已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，|a-b|=3，则|a+b|=_________.方法二:由|a–b|2=|a|2-2a·b+|b|2带入求得a·b=-2.∴|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2得|a+b|=1方法三:数形结合法，发现形的特殊性.（2）已知则a，b所成的夹角为_______.2.选择设a，b，c是任意的非零空间向量，且相互不共线，则：①(a·b)c-(c·a)b=0②|a|-|b|<|a-b|③(b·c)a-(c·a)b不与c垂直④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2中，真命题是（）A.①②B.②③C.③④D.②④3.解答题如图，在平行六面体ABCD-A’B’C’D’中，E,F,G分别是A’D’，D’D，D’C’的中点，请选择恰当的基底向量证明：证明②习题答案3.解:因为AC⊥α，所以AC⊥BD，AC⊥AB，又知BD⊥AB.所以作业P92练习2、3