高二数学 3.4《基本不等式》（1）教案（新人教A版必修5）.doc

-4-课题:§3.4基本不等式第1课时授课类型：新授课【三维目标】1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式理解这个基本不等式的几何意义并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习体会数学来源于生活提高学习数学的兴趣【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式并从不同角度探索不等式的证明过程；【教学难点】基本不等式等号成立条件【教学过程】1.课题导入基本不等式的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的颜色的明暗使它看上去象一个风车代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。2.讲授新课1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为ab那么正方形的边长为。这样4个直角三角形的面积的和是2ab正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积我们就得到了一个不等式：。当直角三角形变为等腰直角三角形即a=b时正方形EFGH缩为一个点这时有。2．得到结论：一般的如果3．思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为当所以即4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式特别的如果a>0b>0我们用分别代替a、b可得通常我们把上式写作：2）从不等式的性质推导基本不等式用分析法证明：要证(1)只要证a+b(2)要证（2）只要证a+b-0（3）要证（3）只要证（-）（4）显然（4）是成立的。当且仅当a=b时（4）中的等号成立。3）理解基本不等式的几何意义探究：课本的“探究”在右图中AB是圆的直径点C是AB上的一点AC=aBC=b。过点C作垂直于AB的弦DE连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB那么ＣD2＝ＣA·ＣB即ＣD＝.这个圆的半径为显然它大于或等于CD即其中当且仅当点C与圆心重合即a＝b时等号成立.因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”评述：1.如果把看作是正数a、b的等差中项看作是正数a、b的等比中项那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中我们称为a、b的算术平均数称为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.[补充例题]例1已知x、y都是正数求证：(1)≥2；(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.分析：在运用定理：时注意条件a、b均为正数结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)进行变形.解：∵xy都是正数∴＞0＞0x2＞0y2＞0x3＞0y3＞0(1)＝2即≥2.(2)x＋y≥2＞0x2＋y2≥2＞0x3＋y3≥2＞0∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥2·2·2＝８x3y3即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.3.随堂练习1.已知a、b、c都是正数求证（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc分析：对于此类题目选择定理：（a＞0b＞0）灵活变形可求得结果.解：∵abc都是正数∴a＋b≥2＞0b＋c≥2＞0c＋a≥2＞0∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2·2·2＝８abc即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.4.课时小结本节课我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（）几何平均数（）及它们的关系（≥）.它们成立的条件不同前者只要求a、b都是实数而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab≤ab≤（）2.5.评价设计【板书设计】