高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式（第1课时）教案 新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学教案.doc

5基本不等式（第一课时）一、教学目标1．通过两个探究实例引导学生从几何图形中获得两个基本不等式了解基本不等式的几何背景体会数形结合的思想；2．进一步提炼、完善基本不等式并从代数角度给出不等式的证明组织学生分析证明方法加深对基本不等式的认识提高逻辑推理论证能力；3．结合课本的探究图形引导学生进一步探究基本不等式的几何解释强化数形结合的思想；4．借助例1尝试用基本不等式解决简单的最值问题通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用提升解决问题的能力体会方法与策略．以上教学目标结合了教学实际将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节．二、教学重点和难点重点：应用数形结合的思想理解基本不等式并从不同角度探索不等式的证明过程；难点：在几何背景下抽象出基本不等式并理解基本不等式．三、教学过程：1．动手操作几何引入如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的．探究一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？在正方形中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为那么正方形的边长为．于是4个直角三角形的面积之和正方形的面积．由图可知即．探究二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边多余部分折叠）．假设两个正方形的面积分别为和（）考察两个直角三角形的面积与矩形的面积你能发现一个不等式吗？通过学生动手操作探索发现：2．代数证明得出结论根据上述两个几何背景初步形成不等式结论：若则．若则．学生探讨等号取到情况教师演示几何画板通过展示图形动画使学生直观感受不等关系中的相等条件从而进一步完善不等式结论：（1）若则；（2）若则请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明．证法一（作差法）：当时取等号．（在该过程中可发现的取值可以是全体实数）证法二（分析法）：由于于是要证明只要证明即证即该式显然成立所以当时取等号．得出结论展示课题内容基本不等式:若则（当且仅当时等号成立）若则（当且仅当时等号成立）深化认识：称为的几何平均数；称为的算术平均数基本不等式又可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数3．几何证明相见益彰DCABEO探究三：如图是圆的直径点是上一点．过点作垂直于的弦连接．根据射影定理可得：由于Rt中直角边斜边于是有当且仅当点与圆心重合时即时等号成立．故而再次证明：当时（当且仅当时等号成立）（进一步加强数形结合的意识提升思维的灵活性）4．应用举例巩固提高例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园问这个矩形的长、宽各为多少时所用篱笆最短最短的篱笆是多少？（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园问这个矩形的长、宽为多少时菜园的面积最大最大面积是多少？（通过例1的讲解总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征实现积与和的转化）对于（1）若（定值）则当且仅当时有最小值；（2）若（定值）则当且仅当时有最大值．（鼓励学生自己探索推导不但可使他们加深基本不等式的理解还锻炼了他们的思维培养了勇于探索的精神．）例2.求的值域．变式1.若求的最小值．在运用基本不等式解题的基础上利用几何画板展示的函数图象使学生再次感受数形结合的数学思想．并通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用提升解决问题的能力体会方法与策略．练一练（自主练习）：1.已知且求的最小值．2.设且求的最小值．5．归纳小结反思提高基本不等式：若则（当且仅当时等号成立）若则（当且仅当时等号成立）（1）基本不等式的几何解释（数形结合思想）；（2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法．媒体展示渗透思想：若将算术平均数记为几何平均数记为利用电脑3D技术在空间坐标系中向学生展示基本不等式的几何背景：平面在曲面的上方6．布置作业课后延拓（1）基本作业：课本P100习题组1、2题（2）拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其他几何解释整理并相互交流．（3）探究作业：现有一台天平两臂长不相等其余均精确有人说要用它称物体的重量只需将物体放在左右托盘各称一次则两次所称重量的和的一半就是物体的真实重量．这种说法对吗？并说明你的结论．