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课题：9．10研究性课题：多面体欧拉定理的发现(一)教学目的：1.了解多面体与简单多面体的概念、发现欧拉公式2.培养学生发现问题、探究问题、归纳总结能力教学重点：欧拉公式的发现过程教学难点：欧拉定义及其证明授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节为研究性课题通过研究欧拉定理的发现过程让学生了解欧拉公式及其简单应用扩大学生的知识面培养学生学习数学的兴趣教学过程：一、复习引入：1欧拉生平事迹简说：欧拉(Euler)瑞士数学家及自然科学家1707年4月15日出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭自幼受父亲的教育13岁入读巴塞尔大学15岁大学毕业16岁获硕士学位1783年9月18日于俄国彼得堡去逝（详细资料附后）2多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面两个面的公共边叫多面体的棱棱和棱的公共点叫多面体的顶点连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线．3．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面如果其余的面都位于这个平面的同一侧这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体．4．凸多面体的分类：多面体至少有四个面按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等二、讲解新课：1．简单多面体：考虑一个多面体例如正六面体假定它的面是用橡胶薄膜做成的如果充以气体那么它就会连续（不破裂）变形最后可变为一个球面如图：象这样表面经过连续变形可变为球面的多面体叫做简单多面体说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体2．五种正多面体的顶点数、面数及棱数：正多面体顶点数面数棱数正四面体446正六面体8612正八面体6812正十二面体201230正二十面体122030发现：它们的顶点数、面数及棱数有共同的关系式：．上述关系式对简单多面体都成立3.欧拉公式的探究1．请查出图⑹的顶点数V、面数F、和棱数E并计算V＋F－E＝6+6-10=22．查出图⑺中的顶点数V、面数F、和棱数E并验证上面公式是否还成立？3.假如图⑸→图⑻的多面体表面是像皮膜向内充气则⑸⑹将变成一个球面图⑺将变成两个紧贴的球面图⑻将变成一个环面。可以验证：只有像⑸⑹这样经过连续变形表面能变为一个球面的多面体才满足公式V＋F－E＝2。这个公式称为欧拉公式这样的多面体称为简单多面体。4．欧拉定理（欧拉公式）：简单多面体的顶点数、面数及棱数有关系式：．证明:(方法一)⑴如图⑽：将多面体的底面ABCDE剪掉抻成平面图形其顶点、棱数面数（剪掉面用右图中ABCDE表示）均没有变故所有面的内角总和不变。⑵设左图中共有F个面分别是边形顶点数为V棱数为E则.左图中所有面的内角总和为＝＝⑶右图中所有面的内角总和为＝⑷＝整理得.（方法二）以四面体为例来说明：将它的一个面去掉并使其变为平面图形四面体的顶点数、棱数与剩下的面数变形后都没有变因此要研究、和的关系只要去掉一个面将它变形为平面图形即可对平面图形我们来研究：（1）去掉一条棱就减少一个面例如去掉就减少一个面．同理去掉棱、也就各减少一个面、．所以、的值都不变因此的值也不变（2）再从剩下的树枝形中去掉一条棱就减少一个顶点例如去掉就减少一个顶点．同理去掉就减少一个顶点最后剩下（如图）．在此过程中的值不变但这时面数是所以的值也不变由于最后只剩下所以最后加上去掉的一个面就得到．4．欧拉示性数：在欧拉公式中令叫欧拉示性数说明：（1）简单多面体的欧拉示性数．（2）带一个洞的多面体的欧拉示性数．例如：长方体挖去一个洞连结底面相应顶点得到的多面体．三、讲解范例：例1一个面体共有8条棱5个顶点求解：∵∴∴．例2．一个正面体共有8个顶点每个顶点处共有三条棱求解：∵∴∴．四、小结：欧拉定理及其证明；欧拉示性数五、课后作业：六、板书设计（略）七、欧拉（EulerLonhard1707～1783）欧拉瑞士数学家及自然科学家在1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔1783年9月18日于俄国的彼得堡去逝欧拉出生于牧师家庭自幼已受到父亲的教育13岁时入读巴塞尔大学15岁大学毕业16岁获得硕士学位欧拉的父亲希望他学习神学但他最感兴趣的是数学在上大学时他已受到约翰第一．伯努利的特别指导专心研究数学直至18岁他彻底的放弃当牧师的想法而专攻数学于19岁时（1726年）开始创作文章并获得巴黎科学院奖金1727年在丹尼尔．伯努利的推荐下到俄国的彼得堡科学院从事研究工作并在1731年接替丹尼尔第一．伯努利成为物理学教授在俄国的14年中他努力不懈地投入研究在分析学、数论及力学方面均有出色的表现此外欧拉还应俄国政府的要求解决了不少如地图学、造船业等的实际问题1735年他因工作过度以致右眼失明在1741年他受到普鲁士腓特烈大帝的邀请到德国科学院担任物理数