高二数学 函数的极值与导数.doc

用心爱心专心教育是我们一生的事业高二数学函数的极值与导数（2课时）教学目标：1.理解极大值、极小值的概念；2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值的步骤；教学重点：极大、极小值的概念和判别方法以及求可导函数的极值的步骤.教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.教学过程：一．创设情景观察图3.3-8我们发现时高台跳水运动员距水面高度最大．那么函数在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地导数的符号有什么变化规律？放大附近函数的图像如图3.3-9．可以看出；在当时函数单调递增；当时函数单调递减；这就说明在附近函数值先增（）后减（）．这样当在的附近从小到大经过时先正后负且连续变化于是有．对于一般的函数是否也有这样的性质呢？附：对极大、极小值概念的理解可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的.从图象观察得出判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号二．新课讲授1．问题：图3.3-1（1）它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像．运动员从起跳到最高点以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像我们可以发现：运动员从起点到最高点离水面的高度随时间的增加而增加即是增函数．相应地．从最高点到入水运动员离水面的高度随时间的增加而减少即是减函数．相应地．2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图3.3-3导数表示函数在点处的切线的斜率．在处切线是“左下右上”式的这时函数在附近单调递增；在处切线是“左上右下”式的这时函数在附近单调递减．结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间内如果那么函数在这个区间内单调递增；如果那么函数在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的如果那么函数在这个区间内是常函数．3．求解函数单调区间的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解不等式解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式解集在定义域内的部分为减区间．三．典例分析例1．已知导函数的下列信息：当时；当或时；当或时试画出函数图像的大致形状．解：当时可知在此区间内单调递增；当或时；可知在此区间内单调递减；当或时这两点比较特殊我们把它称为“临界点”．综上函数图像的大致形状如图3.3-4所示．例2．判断下列函数的单调性并求出单调区间．（1）；（2）（3）；（4）解：（1）因为所以因此在R上单调递增如图3.3-5（1）所示．（2）因为所以当即时函数单调递增；当即时函数单调递减；函数的图像如图3.3-5（2）所示．因为所以因此函数在单调递减如图3.3-5（3）所示．因为所以．当即时函数；当即时函数；函数的图像如图3.3-5（4）所示．注：（3）、（4）生练如图3.3-6水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像．分析：以容器（2）为例由于容器上细下粗所以水以常速注入时开始阶段高度增加得慢以后高度增加得越来越快．反映在图像上（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．解：思考：例3表明通过函数图像不仅可以看出函数的增减还可以看出其变化的快慢．结合图像你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大那么函数在这个范围内变化的快这时函数的图像就比较“陡峭”；反之函数的图像就“平缓”一些．如图3.3-7所示函数在或内的图像“陡峭”在或内的图像“平缓”．求证：函数在区间内是减函数．证明：因为当即时所以函数在区间内是减函数．说明：证明可导函数在内的单调性步骤：（1）求导函数；（2）判断在内的符号；（3）做出结论：为增函数为减函数．已知函数在区间上是增函数求实数的取值范围．解：因为在区间上是增函数所以对恒成立即对恒成立解之得：所以实数的取值范围为．说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增则；若函数单调递减则”来求解注意此时公式中的等号不能省略否则漏解．四．课堂练习1．求下列函数的单调区间1.f(x)=2x3－6x2+72.f(x)=+2x3.f(x)=sinxx4.y=xlnx2．课本P101练习五．回顾总结（1）函数的单调性与导数的关系（2）求解函数单调区间（3）证明可导函数在内的单调性六．布置作业