2.2.1 直接证明--综合法与分析法.doc

§2.2.1直接证明--综合法与分析法1．教学目标：知识与技能：结合已经学过的数学实例了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。过程与方法:多让学生举命题的例子培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与激发学生学习数学的兴趣。2．教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点3．教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点4．教具准备：与教材内容相关的资料。5．教学设想：分析法和综合法的思考过程、特点.“变形”是解题的关键是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。6．教学过程:学生探究过程：合情推理分归纳推理和类比推理所得的结论的正确性是要证明的数学中的两大基本证明方法-------直接证明与间接证明。若要证明下列问题：已知ab>0求证教师活动：给出以上问题让学生思考应该如何证明引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。学生活动：充分讨论思考找出以上问题的证明方法设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题引出综合法的定义证明:因为所以因为所以.因此.P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等Q表示要证明的结论1.综合法综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立这种证明方法叫做综合法用综合法证明不等式的逻辑关系是：综合法的思维特点是：由因导果即由已知条件出发利用已知的数学定理、性质和公式推出结论的一种证明方法例1、在△ABC中三个内角ABC的对边分别为且ABC成等差数列成等比数列求证△ABC为等边三角形.分析：将ABC成等差数列转化为符号语言就是2B=A+C;ABC为△ABC的内角这是一个隐含条件明确表示出来是A+B+C=；abc成等比数列转化为符号语言就是．此时如果能把角和边统一起来那么就可以进一步寻找角和边之间的关系进而判断三角形的形状余弦定理正好满足要求．于是可以用余弦定理为工具进行证明．证明：由ABC成等差数列有2B=A+C．①因为ABC为△ABC的内角所以A+B+C=．⑧由①②得B=.由abc成等比数列有.由余弦定理及③可得.再由④得.因此.从而A=C.由②③⑤得A=B=C=.所以△ABC为等边三角形．解决数学问题时往往要先作语言的转换如把文字语言转换成符号语言或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析把其中的隐含条件明确表示出来．例2、已知求证本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。证明：1)差值比较法：注意到要证的不等式关于对称不妨设从而原不等式得证。2）商值比较法：设故原不等式得证。注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。讨论：若题设中去掉这一限制条件要求证的结论如何变换？2.分析法证明数学命题时还经常从要证的结论Q出发反推回去寻求保证Q成立的条件明尸2成立再去寻求尸2成立的充分条件尸3件、定理、定义、公理等）为止．乞再去寻求尸1成立的充分条件尸2；为了证……直到找到一个明显成立的条件（已知条即使Q成立的充分条件尸1．为了证明尸1成立分析法：证明不等式时有时可以从求证的不等式出发分析使这个不等式成立的条件把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题如果能够肯定这些条件都已具备那么就可以断定原不等式成立这种方法叫做分析法用分析法证明不等式的逻辑关系是：分析法的思维特点是：执果索因分析法的书写格式：要证明命题B为真只需要证明命题为真从而有……这只需要证明命题为真从而又有…………这只需要证明命题A为真而已知A为真故命题B必为真例3、求证证明：因为都是正数所以为了证明只需证明展开得即因为成立所以成立即证明了说明：①分析法是“执果索因”步步寻求上一步成立的充分条件它与综合法是对立统一的两种方法②分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：为了证明命题B为真这只需要证明命题B1为真从而有……这只需要证明命题B2为真从而又有……这只需要证明命题A为真而已知A为真故B必真在本例中如果我们从“21<25”出发逐步倒推回去就可以用综合法证出结论。但由于我们很难想到从“21<25”入手所以用综合法比较困难。事实上在解决问题时我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论得到中间结论Q‘；根据结论的结构特点去转化条件得到中间结论P‘．若由P‘可以推出Q‘成立就可以证明结论成立．下面来看一个例子．例4已知且①②求证：。分析：比