高中数学2.示范教案（1.1.1 正弦定理）新人教版必修5.doc

http://www.zhnet.com.cn或http://www.e12.com.cn中鸿智业信息技术有限公司1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理从容说课本章内容是处理三角形中的边角关系与初中学习的三角形的边与角的基本关系有密切的联系与已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识也有着密切的联系．教科书在引入正弦定理内容时让学生从已有的几何知识出发提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”在引入余弦定理内容时提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角根据三角形全等的判定方法这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样用联系的观点从新的角度看过去的问题使学生对于过去的知识有了新的认识同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上形成良好的知识结构．教学重点1.正弦定理的概念；2.正弦定理的证明及其基本应用．教学难点1.正弦定理的探索和证明；2.已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数．教具准备直角三角板一个三维目标一、知识与技能1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索掌握正弦定理的内容及其证明方法；2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．二、过程与方法1.让学生从已有的几何知识出发共同探究在任意三角形中边与其对角的关系；2.引导学生通过观察、推导、比较由特殊到一般归纳出正弦定理；3.进行定理基本应用的实践操作．三、情感态度与价值观1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；2.培养学生探索数学规律的思维能力通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一．教学过程导入新课师如右图固定△ABC的边CB及∠B使边AC绕着顶点C转动．师思考：∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？生显然边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而增大．师能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？师在初中我们已学过如何解直角三角形下面就首先来探讨直角三角形中角与边的等式关系．如右图在Rt△ABC中设BC=AAC=BAB=C根据锐角三角函数中正弦函数的定义有=sinA=sinB又sinC=1=则.从而在直角三角形ABC中.推进新课[合作探究]师那么对于任意的三角形以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）生可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如右图当△ABC是锐角三角形时设边AB上的高是CD根据任意角三角函数的定义有CD=AsinB=BsinA则同理可得.从而.（当△ABC是钝角三角形时解法类似锐角三角形的情况由学生自己完成）正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦的比相等即.师是否可以用其他方法证明这一等式？生可以作△ABC的外接圆在△ABC中令BC=AAC=BAB=C根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等来证明这一关系．师很好！这位同学能充分利用我们以前学过的知识来解决此问题我们一起来看下面的证法.在△ABC中已知BC=AAC=BAB=C作△ABC的外接圆O为圆心连结BO并延长交圆于B′设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到∠BAB′=90°∠C=∠B′∴sinC=sinB′=.∴.同理可得.∴.这就是说对于任意的三角形上述关系式均成立因此我们得到等式.点评:上述证法采用了初中所学的平面几何知识将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证此证法在巩固平面几何知识的同时易于被学生理解和接受并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫.[知识拓展]师接下来我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出定理反映的是三角形的边角关系而在向量知识中哪一知识点体现边角关系呢?生向量的数量积的定义式A·B=|A||B|Cosθ其中θ为两向量的夹角.师回答得很好但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系这两者之间能否转化呢?生可以通过三角函数的诱导公式sinθ=Cos(90°-θ)进行转化.师这一转化产生了新角90°-θ这就为辅助向量j的添加提供了线索为方便进一步的运算辅助向量选取了单位向量j而j垂直于三角形一边且与一边夹角出现了90°-θ这一形式这是作辅助向量j垂直于三角形一边的原因.师在向量方法证明过程中构造向量是基础并由向量的加法原则可得而添加垂直于的单位向量j是关键为了产生j与、、的数量积而在上面向量等