高中数学2.备课资料素材（1.1.1 正弦定理）新人教版必修5.doc

http://www.zhnet.com.cn或http://www.e12.com.cn中鸿智业信息技术有限公司备课资料一、知识总结1.判断三角形解的方法“已知两边和其中一边的对角”解三角形这类问题分为一解、二解和无解三种情况.一方面我们可以利用课本上的几何图形加以理解另一方面也可以利用正弦函数的有界性进行分析.设已知A、B、A则利用正弦定理如果sinB＞1则问题无解.如果sinB＝1则问题有一解;如果求出的sinB＜1则可得B的两个值但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断.2.利用三角形面积证明正弦定理已知△ABC设BC＝ACA＝BAB＝C作AD⊥BC垂足为D.则Rt△ADB中∴AD=AB·sinB=csinB.∴S△ABC=.同理可证S△ABC=.∴S△ABC=.∴absinc=bcsinA=acsinB在等式两端同除以ABC可得.即.3.利用正弦定理进行边角互换对于三角形中的三角函数在进行恒等变形时常常将正弦定理写成A=2RsinAB=2RsinBC=2RsinC或sinA=.（R为△ABC外接圆半径）这样可以很方便地把边和角的正弦进行转换我们将在以后具体应用.二、典型例题1．若△ABC中(A2+B2)sin(A-B)=(A2-B2)sinC则△ABC是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形分析:运用正弦定理A=2RsinAB=2RsinB以及结论sin2A-sin2B=sin(A+B)sin(A-B)由（A2+B2）sin(A-B)=(A2-B2)sinC∴(sin2A+sin2B)sin(A-B)=(sin2A-sin2B)sinC=sin(A+B)·sin(A-B)·sinC.若sin(A-B)=0则A=B.若sin(A-B)≠0则sin2A+sin2B=sin2CA2+B2=C2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.故答案选D.2.在△ABC中A=45°B∶C=4∶5最大边长为10求角B、C外接圆半径及面积S.分析：由A+B+C=180°及B∶C=4∶5可得B=4KC=5K则9K=135°故K=15°.那么B=60°C=75°.由正弦定理由面积公式.点评：求面积时B未知但可转化为B=2RsinB从而解决问题.3.在△ABC中已知A=30°A、B分别为角A、B对边且A=4B=4解此三角形.分析：由正弦定理知.那么B1=60°C1=90°C1=8或B2=120°C2=30°C2=4.点评：若已知三角形两边和其中一边上的对角如图可以看出满足条件的三角形有2个.4.已知△ABC的三个内角成等差数列并且tanA·tanC=2+（1）求A、B、C的度数;（2）若AB边上的高CD=4求三边A、B、C的长．分析：（1）由2B=A+C得B=60°则A+C=120°.即(2+3)COsA·COsC-sinA·sinC=0(1+)COsA·COsC+(COsA·COsC-sinA·sinC)=0(1+)·［COs(A+C)+COs(A-C)］+COs(A+C)=0［-+COs(A-C)］+COs(A+C)=0.∴COs(A-C)=.得|A-C|=30°.又∵A+C=120°.∴A=45°C=75°或A=75°C=45°.（2）如图若A＜B＜C由正弦定理得A=8B=4C=BCOsA+ACOsB=4(+1).同理若A＞B＞C时则A=4(3+1)B=46C=8.点评：这类具有一定综合性的题目恒等变形有一定的技巧.由三个角成等差得A+C=120°恒等变形的目标就是寻找A与C的关系用恒等变形的方法的观点对条件等式进行转化．此题还可以由tanA·tanC=2+求出tanA+tanC=3+运用韦达定理解出tanA和tanC这对综合能力的训练大有益处．